Questão 83 (FGV-2015). Sete pessoas formam uma fila e duas delas serão escolhidas para receber um brinde. O número de maneiras diferentes de escolher duas pessoas da fila que não sejam vizinhas é?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há uma fila com
pessoas. - Serão escolhidas
dessas pessoas para receber um brinde. - A escolha deve obedecer à restrição: as duas pessoas escolhidas não podem ser vizinhas na fila.
O que o problema pede:
- Calcular o número de maneiras diferentes de escolher
pessoas dentre as de modo que elas não sejam vizinhas.
Passo 2
Contagem total sem restrição (aprender a contar combinações):
- Se não houvesse a restrição “não serem vizinhas”, o número de maneiras de escolher
pessoas entre é dado por uma combinação: que significa “n escolhe k”. - A fórmula é
, onde (fatorial) é o produto dos inteiros de até : . - Aplicando aqui:
. - Então existem
pares diferentes se não nos importarmos com adjacência.
Passo 3
Contar quantos pares são proibidos (pares de vizinhos):
- Em uma fila de
posições, os pares de vizinhos possíveis são exatamente os pares de posições consecutivas: . - O número desses pares é
. - Portanto há
escolhas proibidas (duas pessoas que são vizinhas).
Passo 4
Subtrair os proibidos do total (princípio da contagem por complementação):
- Cada par de pessoas é ou vizinho ou não-vizinho — as duas categorias são disjuntas e cobrem todas as possibilidades.
- Assim o número de pares permitidos (não vizinhos) é
Passo 5
Verificação alternativa e fórmula geral (útil para a prova):
- Há também uma forma direta de contar sem usar complemento. Para escolher
pessoas entre em fila sem que sejam adjacentes, existe a fórmula
- Aqui
e , então
o mesmo resultado. Essa fórmula pode ser lembrada como colocar
“pessoas” separadas por espaços mínimos de
entre elas e escolher as posições desses blocos.
Passo 6
Recapitulando de forma amigável:
- Total sem restrição:
. - Pares vizinhos (proibidos):
. - Resultado final:
. - Fica a dica: usar complemento é rápido e seguro para esse tipo de problema — respira, você consegue!