Questão 83 (FGV-2015). Sete pessoas formam uma fila e duas delas serão escolhidas para receber um brinde. O número de maneiras diferentes de escolher duas pessoas da fila que não sejam vizinhas é?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Há uma fila com 7 pessoas.
  • Serão escolhidas 2 dessas pessoas para receber um brinde.
  • A escolha deve obedecer à restrição: as duas pessoas escolhidas não podem ser vizinhas na fila.
O que o problema pede:
  • Calcular o número de maneiras diferentes de escolher 2 pessoas dentre as 7 de modo que elas não sejam vizinhas.

Passo 2

Contagem total sem restrição (aprender a contar combinações):
  • Se não houvesse a restrição “não serem vizinhas”, o número de maneiras de escolher 2 pessoas entre 7 é dado por uma combinação: \binom{n}{k} que significa “n escolhe k”.
  • A fórmula é \displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}, onde n! (fatorial) é o produto dos inteiros de 1 até n: n!=n\cdot(n-1)\cdots2\cdot1.
  • Aplicando aqui: \displaystyle \binom{7}{2}=\frac{7\cdot6}{2\cdot1}=21.
  • Então existem \displaystyle 21 pares diferentes se não nos importarmos com adjacência.

Passo 3

Contar quantos pares são proibidos (pares de vizinhos):
  • Em uma fila de 7 posições, os pares de vizinhos possíveis são exatamente os pares de posições consecutivas: (1,2),(2,3),\dots,(6,7).
  • O número desses pares é 7-1=6.
  • Portanto há 6 escolhas proibidas (duas pessoas que são vizinhas).

Passo 4

Subtrair os proibidos do total (princípio da contagem por complementação):
  • Cada par de pessoas é ou vizinho ou não-vizinho — as duas categorias são disjuntas e cobrem todas as possibilidades.
  • Assim o número de pares permitidos (não vizinhos) é
\binom{7}{2} - 6 = 21 - 6 = 15.

Passo 5

Verificação alternativa e fórmula geral (útil para a prova):
  • Há também uma forma direta de contar sem usar complemento. Para escolher k pessoas entre n em fila sem que sejam adjacentes, existe a fórmula
\binom{n-k+1}{k}.
  • Aqui n=7 e k=2, então
\binom{7-2+1}{2}=\binom{6}{2}=\frac{6\cdot5}{2}=15,
o mesmo resultado. Essa fórmula pode ser lembrada como colocar k “pessoas” separadas por espaços mínimos de 1 entre elas e escolher as posições desses blocos.

Passo 6

Recapitulando de forma amigável:
  • Total sem restrição: \displaystyle \binom{7}{2}=21.
  • Pares vizinhos (proibidos): 6.
  • Resultado final: 21-6=15.
  • Fica a dica: usar complemento é rápido e seguro para esse tipo de problema — respira, você consegue!

Resposta

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