Questão 87: Encontre a derivada direcional de
em ( 3,4 ) na direção que forma ângulo de
com o eixo x positivo.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada direcional de
no ponto
na direção que forma ângulo de
com o eixo
positivo.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde se avalia é
. - A direção é dada pelo ângulo
medido a partir do eixo positivo.
Passo 2
O que é a derivada direcional e quando posso usar uma fórmula prática?
Definição por limite: para um vetor unitário , a derivada direcional de
em
na direção
é
Definição por limite: para um vetor unitário
Se
for diferenciável em
(o que ocorre aqui, pois
é suave fora da origem), então vale a fórmula prática
ou seja, basta fazer o produto escalar entre o gradiente de
em
e o vetor unitário da direção. Intuição curta: diferenciabilidade dá aproximação linear
; tomando
e dividindo por
obtemos o resultado.
Passo 3
Encontrar o vetor unitário da direção que forma ângulo
com o eixo
. As componentes (cosseno e seno) são
Verificação rápida:
. Está normalizado.
Passo 4
Calcular o gradiente
. Primeiro escrever
. Aplicando a regra da cadeia para derivadas parciais:
- Para
: considere com . Então
- Para
:
Portanto o gradiente é
Passo 5
Avaliar o gradiente no ponto
. Calcular
. Então
Comentário intuitivo: este gradiente é um vetor unitário apontando radialmente para fora (direção do raio do ponto até a origem), como faz sentido para a função distância ao origem.
Passo 6
Calcular a derivada direcional usando o produto escalar:
Fazendo o produto escalar termo a termo: