Questão 87: Encontre a derivada direcional de f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} em ( 3,4 ) na direção que forma ângulo de \pi / 3 com o eixo x positivo.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada direcional de f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} no ponto (3,4) na direção que forma ângulo de \pi/3 com o eixo x positivo.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • O ponto onde se avalia é (3,4).
  • A direção é dada pelo ângulo \theta=\pi/3 medido a partir do eixo x positivo.

Passo 2

O que é a derivada direcional e quando posso usar uma fórmula prática?
Definição por limite: para um vetor unitário \mathbf{u}, a derivada direcional de f em \mathbf{a} na direção \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{a})=\lim_{h\to0}\frac{f(\mathbf{a}+h\mathbf{u})-f(\mathbf{a})}{h}.
Se f for diferenciável em \mathbf{a} (o que ocorre aqui, pois f é suave fora da origem), então vale a fórmula prática
D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{a})=\nabla f(\mathbf{a})\cdot\mathbf{u},
ou seja, basta fazer o produto escalar entre o gradiente de f em \mathbf{a} e o vetor unitário da direção. Intuição curta: diferenciabilidade dá aproximação linear f(\mathbf{a}+ \mathbf{h})\approx f(\mathbf{a})+\nabla f(\mathbf{a})\cdot\mathbf{h}; tomando \mathbf{h}=h\mathbf{u} e dividindo por h obtemos o resultado.

Passo 3

Encontrar o vetor unitário da direção que forma ângulo \pi/3 com o eixo x. As componentes (cosseno e seno) são
\mathbf{u}=(\cos\pi/3,\;\sin\pi/3)=\left(\tfrac{1}{2},\;\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
Verificação rápida: \|\mathbf{u}\|=\sqrt{(\tfrac{1}{2})^{2}+(\tfrac{\sqrt{3}}{2})^{2}}=\sqrt{\tfrac{1}{4}+\tfrac{3}{4}}=1. Está normalizado.

Passo 4

Calcular o gradiente \nabla f(x,y). Primeiro escrever f(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{1/2}. Aplicando a regra da cadeia para derivadas parciais:
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial x}: considere g(t)=t^{1/2} com t=x^{2}+y^{2}. Então
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2y=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Portanto o gradiente é
\nabla f(x,y)=\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\;\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right).

Passo 5

Avaliar o gradiente no ponto (3,4). Calcular \sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5. Então
\displaystyle \nabla f(3,4)=\left(\frac{3}{5},\;\frac{4}{5}\right).
Comentário intuitivo: este gradiente é um vetor unitário apontando radialmente para fora (direção do raio do ponto até a origem), como faz sentido para a função distância ao origem.

Passo 6

Calcular a derivada direcional usando o produto escalar:
D_{\mathbf{u}}f(3,4)=\nabla f(3,4)\cdot\mathbf{u}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)\cdot\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
Fazendo o produto escalar termo a termo:
D_{\mathbf{u}}f(3,4)=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}+\frac{4}{5}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{3}{10}+\frac{4\sqrt{3}}{10} =\frac{3+4\sqrt{3}}{10}.

Resposta

\dfrac{3+4\sqrt{3}}{10}