Questão 88. Determine o valor de n na expressão: \sum_{p=0}^{26} 3^{p} \cdot C_{26, p}=\sum_{k=0}^{n} C_{n, k}.

Passo 1

O enunciado dá a igualdade entre duas somas e pede determinar o valor de n:
\sum_{p=0}^{26} 3^{p} \cdot C_{26, p}=\sum_{k=0}^{n} C_{n, k}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A soma da esquerda é \sum_{p=0}^{26} 3^{p} \cdot C_{26, p}, ou seja, soma de termos do tipo C_{26,p} multiplicados por 3^{p}, com p variando de 0 a 26.
  • A soma da direita é \sum_{k=0}^{n} C_{n,k}, que é a soma de todos os coeficientes binomiais de ordem n.
  • A pergunta é: qual é o valor de n que faz as duas somas iguais?

Passo 2

Vamos entender uma identidade útil (apresentada de maneira didática): para qualquer número inteiro m\ge0 e qualquer número real x, vale a fórmula
(1+x)^{m}=\sum_{j=0}^{m} C_{m,j}\,x^{j}.
Explicando essa fórmula passo a passo:
  • (1+x)^{m} significa multiplicar 1+x por ele mesmo m vezes.
  • C_{m,j} (lido "combinação de m elementos tomados j a j") é o coeficiente que aparece na expansão; ele conta de quantas maneiras escolhemos j fatores x entre os m fatores (1+x).
  • O somatório \sum_{j=0}^{m} C_{m,j}\,x^{j} lista os termos da expansão: o termo com x^{j} tem coeficiente C_{m,j}.
    Pequeno exemplo concreto para fixar: para m=2,
(1+x)^2 = 1 + 2x + x^2,
e isso corresponde a \sum_{j=0}^{2} C_{2,j} x^{j}=C_{2,0}x^{0}+C_{2,1}x^{1}+C_{2,2}x^{2}=1+2x+1\cdot x^2.

Passo 3

Aplique a identidade do passo anterior à soma da esquerda. Tome m=26 e x=3. Pela fórmula temos:
(1+3)^{26}=\sum_{p=0}^{26} C_{26,p}\,3^{p}.
Portanto a soma da esquerda é exatamente (1+3)^{26}. Simplificando,
\sum_{p=0}^{26} 3^{p} \cdot C_{26, p}=4^{26}.

Passo 4

Agora trate a soma da direita. Ainda usando a mesma identidade com x=1 e m=n, obtemos:
(1+1)^{n}=\sum_{k=0}^{n} C_{n,k}\,1^{k}=\sum_{k=0}^{n} C_{n,k}.
Como 1^{k}=1 para todo k, a soma dos coeficientes binomiais de ordem n é
\sum_{k=0}^{n} C_{n,k}=2^{n}.

Passo 5

Igualando as duas expressões obtidas nos passos anteriores, a igualdade do enunciado fica:
4^{26}=2^{n}.
Reescrevendo 4^{26} como potência de base 2, tem-se \,4^{26}=(2^{2})^{26}=2^{52}. Assim
2^{52}=2^{n}.
Pela unicidade da potência com mesma base 2, concluímos que os expoentes devem ser iguais, logo n=52.

Resposta

n=52

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