Questão 97. Resolva os problemas a seguir:
Qual a soma dos coeficientes de
?
Qual a soma dos coeficientes de
Passo 1
O enunciado pede: “Qual a soma dos coeficientes de
?”
Informações dadas:
- O polinômio base é
. - Esse polinômio é elevado à potência
. - A pergunta solicita a soma de todos os coeficientes do polinômio resultante.
Passo 2
Idéia chave (fato útil para a resolução): a soma dos coeficientes de um polinômio é igual ao valor do polinômio quando
.
Explicação e demonstração curta e didática:
- Seja um polinômio genérico
, onde cada é um coeficiente. - A soma dos coeficientes é
. - Se substituirmos
em obtemos
Logo, para qualquer polinômio, calcular a soma dos coeficientes é exatamente avaliar o polinômio em
.
Exemplo rápido para fixar a ideia:
- Tome
. A soma dos coeficientes de é . - Se expandir
, a soma confirma a regra.
Passo 3
Aplicar a regra ao problema dado.
Defina
.
A soma dos coeficientes de é
(porque avaliando o polinômio elevado em
obtemos a soma dos coeficientes).
A soma dos coeficientes de
Calcule
:
Portanto a soma dos coeficientes de
é
Passo 4
Comentário final e dica para a prova: sempre que a questão pedir “soma dos coeficientes” de um polinômio (ou de uma potência de polinômio), faça a substituição
— é rápido, evita expansões gigantes e costuma ser a forma mais eficiente durante a prova. Você já resolveu o caso concreto: deu algo simples e elegante,
. Força aí — isso é útil em muitas questões de combinatória e álgebra!