Questão 4: Numa bomba radial centrífuga ( \alpha_{1}=90^{\circ} ) foram levantadas as seguintes medidas após uma análise dimensional do rotor:
\begin{array}{lllc} \mathrm{d}_{1}=16 \mathrm{~cm} & \mathrm{~b}_{1}=42 \mathrm{~mm} & \beta_{1}=25^{\circ} & \mathrm{Z}=8 \text { palhetas } \\\ \mathrm{d}_{2}=28 \mathrm{~cm} & \mathrm{~b}_{2}=30 \mathrm{~mm} & \beta_{2}=35^{\circ} & \mathrm{S}_{1}=10 \mathrm{~mm} ; \mathrm{S}_{2}=5 \mathrm{~mm} \end{array}
No catálogo do fabricante, encontrou-se os seguintes valores para o rendimento volumétrico e mecânico respectivamente: \eta_{\mathrm{V}}=0,91 e \eta_{\mathrm{m}}=0,83, e o peso específico do fluido a ser bombeado \gamma=870 \mathrm{kgf} / \mathrm{m}^{3}.
Determine:
a) Vazão recalcada considerando uma rotação \mathrm{n}=1500 \mathrm{rpm}.
b) Valor de Hth para essa mesma rotação.
c) Potência do motor elétrico comercial necessário para acionar a bomba nesta condição.
d) Se a altura manométrica da instalação onde a bomba deverá operar com essas condições for igual a 27 m , determine o rendimento total da bomba.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados (peguei todos os números do enunciado):
  • Diâmetros: \mathrm{d}_{1}=16\\ \mathrm{cm}, \mathrm{d}_{2}=28\\ \mathrm{cm}.
  • Larguras do anel de palhetas: \mathrm{b}_{1}=42\\ \mathrm{mm}, \mathrm{b}_{2}=30\\ \mathrm{mm}.
  • Ângulos das palhetas (medidos em relação à tangente): \beta_{1}=25^{\circ}, \beta_{2}=35^{\circ}.
  • Número de palhetas: \mathrm{Z}=8.
  • Espessuras (ou folgas específicas) na entrada e saída: \mathrm{S}_{1}=10\\ \mathrm{mm},\\ \mathrm{S}_{2}=5\\ \mathrm{mm}.
  • Ângulo de escoamento absoluto na entrada: \alpha_{1}=90^{\circ} (escoamento radial).
  • Eficiências fornecidas: \eta_{\mathrm{V}}=0,91 (volumétrica) e \eta_{\mathrm{m}}=0,83 (mecânica).
  • Peso específico do fluido (dado no enunciado): \gamma=870\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{m}^{3}.
  • Rotação: n=1500\\ \mathrm{rpm}.
    O que o enunciado pede:
    (a) Vazão recalculada (efetiva) para n=1500\\ \mathrm{rpm}.
    (b) Valor de H_{\mathrm{th}} (altura teórica de Euler) para essa rotação.
    (c) Potência do motor elétrico comercial necessário para acionar a bomba nessa condição.
    (d) Se a altura manométrica da instalação for 27\\ \mathrm{m}, determinar o rendimento total da bomba.

Passo 2

Plano e fórmulas essenciais (aulas rápidas necessárias para entender o método)
  1. Relação de Euler para máquinas rotodinâmicas: a energia por unidade de peso fornecida ao fluido (altura teórica) é dada por
H_{\mathrm{th}}=\frac{u_{2}V_{u2}-u_{1}V_{u1}}{g}.
Aqui:
  • u_{r}=\omega r_{r} é a velocidade tangencial da palheta na superfície de raio r (m/s).
  • V_{u r} é a componente tangencial da velocidade absoluta do fluido na seção r.
  • g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}).
    No nosso caso \alpha_{1}=90^{\circ}\Rightarrow V_{u1}=0, então
H_{\mathrm{th}}=\frac{u_{2}V_{u2}}{g}.
  1. Área disponível para escoamento (considerando espessura das palhetas): a área anular efetiva na seção r é a circumferência útil multiplicada pela largura b. Se cada palheta tem espessura S e há Z palhetas, a comprimento bloqueado é Z S. Portanto a área efetiva é
A=\bigl(2\pi r - Z S\bigr)\,b.
Isso substitui a aproximação simples 2\pi r b quando se quer considerar a obstrução das palhetas.
  1. Relação entre velocidade meridional (ou componente axial/radial do escoamento) e geometria das velocidades relativas: no triângulo de velocidades a componente meridional (vou chamar de V_{m}, a velocidade de escoamento na direção radial/meridional) relaciona-se com a velocidade tangencial u e o ângulo relativo \beta. Com o sinal adotado (convencional em turbomaquinas), quando a componente tangencial absoluta na entrada é zero ( \alpha_{1}=90^\circ), a condição do triângulo implica
V_{m1}=u_{1}\tan\beta_{1}.
Explicando de forma simples: a velocidade relativa W tem componente tangencial aproximadamente igual a u (em módulo) e componente meridional V_{m}; o ângulo \beta entre a direção tangente e W \tan\beta=W_{m}/|W_{u}|\approx V_{m}/u, daí V_{m}=u\tan\beta. Esta relação vale na entrada (e a lógica análoga será usada na saída).
  1. Vazão teórica e vazão real: com a área efetiva A e a velocidade meridional V_{m},
Q_{\mathrm{th}}=A_{1}\,V_{m1}, \qquad Q_{\mathrm{act}}=\eta_{V}\,Q_{\mathrm{th}}.
  1. Na saída, para calcular V_{u2} usamos o triângulo:
\tan\beta_{2}=\frac{W_{m2}}{|W_{u2}|}=\frac{V_{m2}}{u_{2}-V_{u2}}
(isolando V_{u2}):
V_{u2}=u_{2}-\frac{V_{m2}}{\tan\beta_{2}}.
Então, sabendo Q e A_{2}, V_{m2}=Q/A_{2} e podemos obter V_{u2} e H_{\mathrm{th}} por Euler.
  1. Potência hidráulica (potência entregue ao fluido) e potência no eixo:
P_{\mathrm{hid}}=\gamma_{\mathrm{SI}}\,Q\,H,
onde \gamma_{\mathrm{SI}} é o peso específico em \mathrm{N/m^{3}}. O enunciado deu \gamma=870\\ \mathrm{kgf/m^{3}}. Para converter para \mathrm{N/m^{3}} multiplica-se por 9{,}81 (pois 1\\ \mathrm{kgf}=9{,}81\\ \mathrm{N}):
\gamma_{\mathrm{SI}}=870\times 9{,}81\\ \mathrm{N/m^{3}}.
A potência no eixo (ou necessária no eixo) é
P_{\mathrm{shaft}}=\frac{P_{\mathrm{hid}}}{\eta_{\mathrm{m}}}.
A partir daí escolhe-se a potência comercial do motor (arredondando para a próxima potência comercial disponível).
  1. Rendimento total da bomba (quando pede o “rendimento total da bomba” frequentemente se refere ao rendimento global da bomba, excluindo o motor, que pode ser decomposto em três fatores): \eta_{\mathrm{total}}=\eta_{V}\,\eta_{H}\,\eta_{m}, onde
\eta_{H}=\frac{H_{\mathrm{man}}}{H_{\mathrm{th}}}
é a eficiência hidráulica (proporção entre a altura manométrica real fornecida e a altura teórica de Euler). Portanto
\eta_{\mathrm{total}}=\eta_{V}\left(\frac{H_{\mathrm{man}}}{H_{\mathrm{th}}}\right)\eta_{m}.

Passo 3

Conversões e valores numéricos preliminares
Passo de conversão e cálculo de grandezas geométricas:
  • Converter unidades:
    • \mathrm{d}_{1}=0{,}16\\ \mathrm{m}\Rightarrow r_{1}=0{,}08\\ \mathrm{m}.
    • \mathrm{d}_{2}=0{,}28\\ \mathrm{m}\Rightarrow r_{2}=0{,}14\\ \mathrm{m}.
    • \mathrm{b}_{1}=42\\ \mathrm{mm}=0{,}042\\ \mathrm{m}.
    • \mathrm{b}_{2}=30\\ \mathrm{mm}=0{,}03\\ \mathrm{m}.
    • \mathrm{S}_{1}=10\\ \mathrm{mm}=0{,}01\\ \mathrm{m}.
    • \mathrm{S}_{2}=5\\ \mathrm{mm}=0{,}005\\ \mathrm{m}.
  • Rotacional: n=1500\\ \mathrm{rpm}\Rightarrow \omega=2\pi n/60=2\pi\cdot25=50\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • Velocidades tangenciais: u_{1}=\omega r_{1}=50\pi\cdot 0{,}08=12{,}5664\\ \mathrm{m/s}, \qquad u_{2}=\omega r_{2}=50\pi\cdot 0{,}14=21{,}9911\\ \mathrm{m/s}.
  • Comprimentos circunferenciais: 2\pi r_{1}=0{,}5026548\\ \mathrm{m},\qquad 2\pi r_{2}=0{,}8796459\\ \mathrm{m}.
  • Áreas efetivas (considerando bloqueio por palhetas): A_{1}=(2\pi r_{1}-Z S_{1})\,b_{1}=(0{,}5026548-8\cdot0{,}01)\cdot0{,}042=0{,}017759\\ \mathrm{m^{2}}.
A_{2}=(2\pi r_{2}-Z S_{2})\,b_{2}=(0{,}8796459-8\cdot0{,}005)\cdot0{,}03=0{,}0251894\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Cálculo da vazão teórica e vazão real (item a)
  1. Velocidade meridional na entrada usando o triângulo de velocidades e \alpha_{1}=90^\circ:
V_{m1}=u_{1}\tan\beta_{1}.
Com \beta_{1}=25^\circ, \tan25^\circ\approx0{,}4663077, então
V_{m1}=12{,}5664\times 0{,}4663077=5{,}859\\ \mathrm{m/s}.
  1. Vazão teórica disponível na entrada:
Q_{\mathrm{th}}=A_{1}V_{m1}=0{,}017759\times 5{,}859=0{,}10403\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  1. Vazão real (considerando eficiência volumétrica \eta_{V}=0{,}91):
Q_{\mathrm{act}}=\eta_{V}Q_{\mathrm{th}}=0{,}91\times 0{,}10403=0{,}094676\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Interpretação prática: essa é a vazão que a bomba efetivamente entrega na rotação dada (aprox. 94{,}7\\ \mathrm{L/s}).

Passo 5

Cálculo de H_{\mathrm{th}} (item b)
  1. Determinar a velocidade meridional na saída:
V_{m2}=\frac{Q_{\mathrm{act}}}{A_{2}}=\frac{0{,}094676}{0{,}0251894}=3{,}758\\ \mathrm{m/s}.
  1. Usar o triângulo de velocidades na saída para obter a componente tangencial absoluta V_{u2}:
V_{u2}=u_{2}-\frac{V_{m2}}{\tan\beta_{2}}.
Com \beta_{2}=35^\circ, \tan35^\circ\approx0{,}7002075, então
V_{u2}=21{,}9911-\frac{3{,}758}{0{,}7002075}=21{,}9911-5{,}3680=16{,}6231\\ \mathrm{m/s}.
  1. Aplicar Euler:
H_{\mathrm{th}}=\frac{u_{2}V_{u2}}{g}=\frac{21{,}9911\times 16{,}6231}{9{,}81}=37{,}28\\ \mathrm{m}.
Conclusão: a altura teórica de Euler para essas condições é aproximadamente 37{,}28\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Cálculo da potência do motor elétrico comercial necessária (item c)
  1. Converter \gamma para SI (N/m³). O enunciado deu \gamma=870\\ \mathrm{kgf/m^{3}}. Como 1\\ \mathrm{kgf}=9{,}81\\ \mathrm{N},
\gamma_{\mathrm{SI}}=870\times 9{,}81=8534{,}7\\ \mathrm{N/m^{3}}.
  1. Potência hidráulica entregue ao fluido (usando H_{\mathrm{th}} como a altura disponível teórica; normalmente a potência hidráulica é P_{\mathrm{hid}}=\gamma_{\mathrm{SI}} Q H. Para a condição de cálculo de H_{\mathrm{th}} usamos H=H_{\mathrm{th}}):
P_{\mathrm{hid}}=\gamma_{\mathrm{SI}}\,Q_{\mathrm{act}}\,H_{\mathrm{th}} =8534{,}7\times 0{,}094676\times 37{,}28=30{,}119\\ \mathrm{kW}\\ (\text{aprox.}).
(cheque numérico: 8534{,}7\times 0{,}094676\approx 808{,}05; 808{,}05\times37{,}28\approx30119\\ \mathrm{W}).
  1. Potência no eixo (considerando perdas mecânicas \eta_{m}=0{,}83):
P_{\mathrm{shaft}}=\frac{P_{\mathrm{hid}}}{\eta_{m}}=\frac{30119}{0{,}83}=36{,}211\\ \mathrm{kW}.
  1. Seleção da potência comercial do motor: normalmente escolhe-se um motor comercial com potência igual ou imediatamente superior ao P_{\mathrm{shaft}}. O valor calculado é 36{,}21\\ \mathrm{kW}; a potência comercial mais próxima e prática é 40\\ \mathrm{kW}. (Se o enunciado pedisse potência elétrica final, deveria dividir por eficiência do motor; como não foi dada, escolhe-se a potência comercial do motor necessária para acionar a bomba no eixo, isto é 40\\ \mathrm{kW}.)

Passo 7

Cálculo do rendimento total da bomba quando a altura manométrica da instalação for H_{\mathrm{man}}=27\\ \mathrm{m} (item d)
  1. Eficiência hidráulica (proporção entre a altura manométrica real e a altura teórica de Euler):
\eta_{H}=\frac{H_{\mathrm{man}}}{H_{\mathrm{th}}}=\frac{27}{37{,}28}=0{,}724\\ (\text{aprox.}).
  1. Rendimento total da bomba (produto das eficiências volumétrica, hidráulica e mecânica):
\eta_{\mathrm{total}}=\eta_{V}\,\eta_{H}\,\eta_{m}=0{,}91\times 0{,}724\times 0{,}83.
Cálculo numérico:
\eta_{\mathrm{total}}=0{,}91\times 0{,}724=0{,}65884, \qquad \eta_{\mathrm{total}}=0{,}65884\times 0{,}83=0{,}5468\\ (\approx54{,}7\%).
Interpretação: com a instalação exigindo 27\\ \mathrm{m}, a bomba, nas condições dadas, teria rendimento global (produto dos três fatores) cerca de 54{,}7\%.

Resposta

(a) Q_{\mathrm{act}}=0{,}094676\\ \mathrm{m^{3}/s} (≈ 94{,}7\\ \mathrm{L/s}).
(b) H_{\mathrm{th}}=37{,}28\\ \mathrm{m}.
(c) Potência no eixo requerida P_{\mathrm{shaft}}=36{,}21\\ \mathrm{kW}; potência comercial de motor recomendada: 40\\ \mathrm{kW}.
(d) Rendimento total da bomba \eta_{\mathrm{total}}\approx0{,}5468 (≈ 54{,}7\%).

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