QUESTÃO 2: Para cada uma das funções a seguir, determine \frac{d y}{d x}.
z=x^{2}+y^{2}-16

Passo 1

O enunciado pede para determinar \dfrac{dy}{dx} a partir da função dada.
Informação fornecida: \;z = x^{2}+y^{2}-16\;.
Não foram dadas outras condições (por exemplo se z é constante ou se z depende de x), então vamos anotar que temos a relação entre x, y e z dada acima.

Passo 2

Escolha do método (explicação do porquê): existem duas interpretações naturais aqui — (A) z é uma função de x (ou seja z=z(x)) e queremos a relação entre as derivadas; ou (B) estamos olhando para uma curva de nível de z (caso clássico: z é constante, por exemplo x^{2}+y^{2}-16=0) e queremos \dfrac{dy}{dx} nessa curva. Vou fazer a técnica geral (diferenciação implícita usando a regra da cadeia), que cobre os dois casos: basta depois especializar para dz/dx=0 se z for constante.

Passo 3

Lembrete da regra da cadeia e de como derivar termos com y: quando y depende de x (isto é, y=y(x)), a derivada de y^{2} em relação a x é feita pela regra da cadeia. A regra da cadeia diz que, se temos \;u=v(x)\; e queremos \dfrac{d}{dx}u^{2}, então
\frac{d}{dx}\big(u^{2}\big)=2u\cdot\frac{du}{dx}.
Aplicando aqui com u=y(x) obtemos
\frac{d}{dx}\big(y^{2}\big)=2y\cdot\frac{dy}{dx}.
Além disso, \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x e \dfrac{d}{dx}(-16)=0. Se z depende de x então \dfrac{d}{dx}z=\dfrac{dz}{dx}.

Passo 4

Agora diferenciamos ambos os lados da igualdade \;z = x^{2}+y^{2}-16\; em relação a x. Usando o que escrevemos:
\frac{dz}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{2}) + \frac{d}{dx}(y^{2}) - \frac{d}{dx}(16).
Substituindo as derivadas:
\frac{dz}{dx} = 2x + 2y\frac{dy}{dx} - 0.

Passo 5

Isolamos \dfrac{dy}{dx} na expressão acima. Primeiro colocamos os termos no lado apropriado:
2y\frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx} - 2x.
Agora dividimos por 2y (assumindo provisoriamente y\neq 0; vamos comentar o caso y=0 depois):
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dz}{dx} - 2x}{2y}.

Passo 6

Especialização para o caso de curva de nível (caso muito comum): se estivermos na curva de nível em que z é constante (por exemplo se o enunciado era realmente o círculo x^{2}+y^{2}-16=0), então \dfrac{dz}{dx}=0. Substituindo em \dfrac{dy}{dx} obtemos a forma clássica:
\frac{dy}{dx} = \frac{0 - 2x}{2y} = -\frac{x}{y}.
Observações importantes: (1) essa expressão só vale quando y\neq 0; (2) se y=0 e x^{2}+y^{2}-16=0 então x=\pm 4 e a tangente é vertical (a derivada \dfrac{dy}{dx} tende a infinito ou não existe).

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: para a curva x^{2}+y^{2}=16, no ponto com x=3 e y=\sqrt{7} temos
\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{\sqrt{7}}.
Isso vem direto de \;-\dfrac{x}{y}\;.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dz}{dx} - 2x}{2y}
\text{Caso }z\text{ constante: }\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}