QUESTÃO 2: Para cada uma das funções a seguir, determine
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar
a partir da função dada.
Informação fornecida: .
Não foram dadas outras condições (por exemplo se é constante ou se
depende de
), então vamos anotar que temos a relação entre
,
e
dada acima.
Informação fornecida:
Não foram dadas outras condições (por exemplo se
Passo 2
Escolha do método (explicação do porquê): existem duas interpretações naturais aqui — (A)
é uma função de
(ou seja
) e queremos a relação entre as derivadas; ou (B) estamos olhando para uma curva de nível de
(caso clássico:
é constante, por exemplo
) e queremos
nessa curva. Vou fazer a técnica geral (diferenciação implícita usando a regra da cadeia), que cobre os dois casos: basta depois especializar para
se
for constante.
Passo 3
Lembrete da regra da cadeia e de como derivar termos com
: quando
depende de
(isto é,
), a derivada de
em relação a
é feita pela regra da cadeia. A regra da cadeia diz que, se temos
e queremos
, então
Aplicando aqui com
obtemos
Além disso,
e
. Se
depende de
então
.
Passo 4
Agora diferenciamos ambos os lados da igualdade
em relação a
. Usando o que escrevemos:
Substituindo as derivadas:
Passo 5
Isolamos
na expressão acima. Primeiro colocamos os termos no lado apropriado:
Agora dividimos por
(assumindo provisoriamente
; vamos comentar o caso
depois):
Passo 6
Especialização para o caso de curva de nível (caso muito comum): se estivermos na curva de nível em que
é constante (por exemplo se o enunciado era realmente o círculo
), então
. Substituindo em
obtemos a forma clássica:
Observações importantes: (1) essa expressão só vale quando
; (2) se
e
então
e a tangente é vertical (a derivada
tende a infinito ou não existe).
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: para a curva
, no ponto com
e
temos
Isso vem direto de
.