Questão 1. Para cada item, calcule 4 passos do método da bisseção no intervalo dado para aproximar a solução da equação.
(c) \ln x-x^{2}+3 x=0,[3,3.5]
n a_{n} x_{n} b_{n} f\left(a_{n}\right) f\left(x_{n}\right) f\left(b_{n}\right)
1
2
3
4 / / / / / / / / / / / /

Passo 1

O enunciado pede: executar 4 iterações do método da bisseção para aproximar a solução da equação \ln x - x^{2} + 3x = 0 no intervalo inicial [3,3{,}5]. Vou listar claramente as informações dadas:
  • Função: f(x)=\ln x - x^{2} + 3x.
  • Intervalo inicial: a_{1}=3 e b_{1}=3{,}5.
  • Quer-se realizar exatamente 4 passos (iterações) do método da bisseção, preenchendo para cada iteração a_{n}, x_{n}, b_{n}, f(a_{n}), f(x_{n}), f(b_{n}).
Observação importante para o método da bisseção (só identificação do que o enunciado pede, sem resolver ainda): a cada iteração calculamos o ponto médio
x_{n}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2},
avaliamos f(a_{n}), f(x_{n}) e f(b_{n}). Se f(a_{n})\cdot f(x_{n})<0 a raiz está em [a_{n},x_{n}]; se f(x_{n})\cdot f(b_{n})<0 a raiz está em [x_{n},b_{n}]. Sempre escolhemos o subintervalo onde há mudança de sinal.

Passo 2

Primeiro verifico os sinais em a_{1} e b_{1}.
Avaliação em a_{1}=3:
f(3)=\ln 3 - 3^{2} + 3\cdot 3 = \ln 3 -9 +9 = \ln 3.
Usando aproximação decimal conhecida,
f(3)=\ln 3 \approx 1{,}098612289\quad(\text{positivo}).
Avaliação em b_{1}=3{,}5:
f(3{,}5)=\ln(3{,}5) - (3{,}5)^{2} + 3\cdot 3{,}5 = \ln(3{,}5) -12{,}25 +10{,}5 = \ln(3{,}5) -1{,}75.
Com aproximação,
\ln(3{,}5)\approx 1{,}252762968\quad\Rightarrow\quad f(3{,}5)\approx 1{,}252762968-1{,}75=-0{,}497237032\quad(\text{negativo}).
Como f(3)>0 e f(3{,}5)<0, existe pelo menos uma raiz em [3,3{,}5] e podemos aplicar a bisseção.

Passo 3

Calculo do ponto médio:
x_{1}=\frac{3+3{,}5}{2}=3{,}25.
Avalio f(3{,}25). Primeiro a parte polinomial:
- (3{,}25)^{2} + 3\cdot 3{,}25 = -10{,}5625 + 9{,}75 = -0{,}8125.
Agora \ln(3{,}25). Usando aproximação conhecida:
\ln(3{,}25)\approx 1{,}178654996.
Portanto
f(3{,}25)=1{,}178654996 - 0{,}8125 \approx 0{,}366154996\quad(\text{positivo}).
Teste de sinal: f(3)=+1{,}0986 e f(3{,}25)=+0{,}36615 têm o mesmo sinal, então a raiz está no subintervalo [3{,}25,\,3{,}5]. Logo para a próxima iteração escolhemos
a_{2}=3{,}25,\qquad b_{2}=3{,}5.

Passo 4

Calculo do ponto médio:
x_{2}=\frac{3{,}25+3{,}5}{2}=3{,}375.
Avaliação de f(3{,}375). Primeiro a parte polinomial:
-(3{,}375)^{2}+3\cdot 3{,}375 = -11{,}390625 + 10{,}125 = -1{,}265625.
Agora \ln(3{,}375). Usando aproximação conhecida:
\ln(3{,}375)\approx 1{,}216395324.
Logo
f(3{,}375)=1{,}216395324 - 1{,}265625 \approx -0{,}049229676\quad(\text{negativo}).
Teste de sinal: f(3{,}25)\approx +0{,}36615 e f(3{,}375)\approx -0{,}04923 têm sinais opostos, então a raiz está em [3{,}25,\,3{,}375]. Para a próxima iteração escolhemos
a_{3}=3{,}25,\qquad b_{3}=3{,}375.

Passo 5

Calculo do ponto médio:
x_{3}=\frac{3{,}25+3{,}375}{2}=3{,}3125.
Avaliação de f(3{,}3125). Parte polinomial:
-(3{,}3125)^{2}+3\cdot 3{,}3125 = -10{,}97265625 + 9{,}9375 = -1{,}03515625.
Para \ln(3{,}3125) faço uma aproximação por correção a partir de \ln(3{,}25) (ou uso tabela/calculadora):
\ln(3{,}3125)\approx 1{,}19770085.
Logo
f(3{,}3125)=1{,}19770085 - 1{,}03515625 \approx 0{,}162544600\quad(\text{positivo}).
Teste de sinal: f(3{,}3125)>0 e f(3{,}375)<0, então a raiz está em [3{,}3125,\,3{,}375]. Para a próxima iteração escolhemos
a_{4}=3{,}3125,\qquad b_{4}=3{,}375.

Passo 6

Calculo do ponto médio:
x_{4}=\frac{3{,}3125+3{,}375}{2}=3{,}34375.
Avaliação de f(3{,}34375). Parte polinomial:
-(3{,}34375)^{2}+3\cdot 3{,}34375 = -11{,}1806640625 + 10{,}03125 = -1{,}1494140625.
Para \ln(3{,}34375) uso aproximação (interpolando entre valores próximos):
\ln(3{,}34375)\approx 1{,}207047697.
Assim
f(3{,}34375)=1{,}207047697 - 1{,}1494140625 \approx 0{,}0576336345\quad(\text{positivo}).
Teste de sinal final (após 4 iterações): f(3{,}34375)>0 e f(3{,}375)<0, então após 4 passos a raiz está localizada no intervalo [3{,}34375,\,3{,}375].

Resposta

n=1: a_{1}=3, x_{1}=3{,}25, b_{1}=3{,}5, f(a_{1})=\ln 3\approx 1{,}098612289, f(x_{1})\approx 0{,}366154996, f(b_{1})\approx -0{,}497237032
n=2: a_{2}=3{,}25, x_{2}=3{,}375, b_{2}=3{,}5, f(a_{2})\approx 0{,}366154996, f(x_{2})\approx -0{,}049229676, f(b_{2})\approx -0{,}497237032
n=3: a_{3}=3{,}25, x_{3}=3{,}3125, b_{3}=3{,}375, f(a_{3})\approx 0{,}366154996, f(x_{3})\approx 0{,}162544600, f(b_{3})\approx -0{,}049229676
n=4: a_{4}=3{,}3125, x_{4}=3{,}34375, b_{4}=3{,}375, f(a_{4})\approx 0{,}162544600, f(x_{4})\approx 0{,}0576336345, f(b_{4})\approx -0{,}049229676