Questão 9 - Calcular a tensão de saída V_{0} do circuito com amplificador operacional mostrado, que combina duas tensões de entrada V_{1}(t) e V_{2}(t) em uma configuração somadora integradora inversora. Considerar o comportamento ideal do amplificador operacional. O circuito possui:
Tensões de entrada: V_{1}(t)=2 \mathrm{~V}(\mathrm{CC}), e_ V_{2}(t)=4 \operatorname{sen}(1000 \mathrm{t}) \mathrm{V}

Passo 1

O circuito é um somador‐integrador inversor com amplificador ideal. Temos duas entradas em resistores R_{1} e R_{2} todas ligadas ao nó inversor (o nó “–”), o nó não‐inversor está a terra e o elemento de realimentação é um capacitor C. As tensões de entrada são \displaystyle V_{1}(t)=2\text{ V (constante)} \displaystyle V_{2}(t)=4\sin(1000\,t)\text{ V}
Para resolver, vamos usar:
– Conceito de “terra virtual” ( v_{-}=0 porque a entrada não inversora está a zero e o amp‐op é ideal).
– Lei de Kirchhoff de correntes no nó inversor (somamos correntes de R_{1},R_{2} e do capacitor).
– Relação tensão‐corrente do capacitor i_C=C\,\tfrac{d}{dt}(v_--v_0).
– Integração da equação diferencial resultante, assumindo v_0(0)=0.

Passo 2

Escrevendo KCL no nó inversor v_-=0, as correntes saindo do nó são
\frac{0-V_1}{R_1}+\frac{0-V_2}{R_2}+i_C=0.
Como i_C=C\,\frac{d}{dt}(v_--v_0)=C\frac{d}{dt}(0-v_0)=-C\,\frac{dv_0}{dt}, temos
-\frac{V_1}{R_1}-\frac{V_2}{R_2}-C\,\frac{dv_0}{dt}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dv_0}{dt} =-\frac{1}{C}\Bigl(\frac{V_1}{R_1}+\frac{V_2}{R_2}\Bigr).

Passo 3

Integramos em t desde 0 até t, com v_0(0)=0:
v_0(t) =-\frac{1}{C}\int_{0}^{t}\Bigl(\frac{V_1(\tau)}{R_1}+\frac{V_2(\tau)}{R_2}\Bigr)d\tau.

Passo 4

Substituindo V_1=2 e V_2=4\sin(1000\tau):
\int_{0}^{t}\frac{2}{R_1}\,d\tau =\frac{2}{R_1}\,t, \qquad \int_{0}^{t}\frac{4}{R_2}\sin(1000\tau)\,d\tau =\frac{4}{R_2}\Bigl[-\frac{\cos(1000\tau)}{1000}\Bigr]_{0}^{t} =\frac{4}{1000\,R_2}\bigl(1-\cos(1000t)\bigr).

Passo 5

Logo,
v_0(t) =-\frac{1}{C}\Bigl(\frac{2}{R_1}\,t +\frac{4}{1000\,R_2}\bigl(1-\cos(1000t)\bigr)\Bigr).

Resposta

\boxed{ v_0(t) =-\frac{1}{C}\Bigl(\frac{2}{R_1}\,t +\frac{4}{1000\,R_2}\bigl(1-\cos(1000t)\bigr)\Bigr), \quad v_0(0)=0. }

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