Questão 2
Sendo
e
o ângulo entre os vetores
e
, calcule:
(a) Encontre um vetor
que satisfaz
:
(b) Encontre o vetor projeção de
sobre o vetor
, sabendo que
é paralelo ao vetor
:
Apresente todos os cálculos.
(a) Encontre um vetor
(b) Encontre o vetor projeção de
Passo 1
O enunciado dá dois vetores
e
com
,
e ângulo
entre eles.
(a) Queremos um vetor tal que
(a) Queremos um vetor
(b) Depois, sabendo que
é paralelo a
, precisamos calcular a projeção de
sobre
.
Para isso usaremos a fórmula do produto interno
Para isso usaremos a fórmula do produto interno
e a fórmula da projeção de
sobre
:
Passo 2
Vamos expandir
Substituindo
,
e
,
obtemos
obtemos
Passo 3
Uma escolha natural de
que garante
e é paralela a
é
De fato
.
Passo 4
Agora calculamos a projeção de
sobre
.
Pela fórmula
Pela fórmula
Note que
Mas como não conhecemos diretamente a componente
, é mais prático usar a projeção ortogonal sobre o mesmo vetor
, lembrando que a direção de
é a de
. Isto dá exatamente o mesmo resultado vetorial.
Calculemos então
E já sabemos
. Logo, usando
paralelo a
,
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)