Questão 2

Sendo \|u\|=2,\|v\|=1 e \theta=30^{\circ} o ângulo entre os vetores u e v, calcule:
(a) Encontre um vetor w que satisfaz \|w\|^{2}=\|4 u-v\|^{2} :
(b) Encontre o vetor projeção de (u+v) sobre o vetor w, sabendo que w é paralelo ao vetor \hat{i} :
Apresente todos os cálculos.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores u e v com \|u\|=2, \|v\|=1 e ângulo \theta=30^\circ entre eles.
(a) Queremos um vetor w tal que
\|w\|^2 \;=\;\|\,4u - v\|^2.
(b) Depois, sabendo que w é paralelo a \hat\imath, precisamos calcular a projeção de u+v sobre w.
Para isso usaremos a fórmula do produto interno
u\cdot v \;=\;\|u\|\,\|v\|\cos\theta
e a fórmula da projeção de x sobre w:
\mathrm{proj}_{w}(x) =\frac{x\cdot w}{\|w\|^2}\,w.

Passo 2

Vamos expandir
\|\,4u - v\|^2 \;=\;(4u - v)\cdot(4u - v) =16\,u\cdot u \;+\;v\cdot v\;-\;8\,u\cdot v.
Substituindo \|u\|^2=4, \|v\|^2=1 e \displaystyle u\cdot v=\|u\|\|v\|\cos30^\circ=2\cdot1\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3,
obtemos
\|\,4u - v\|^2 =16\cdot4 + 1 \;-\;8\sqrt3 =64 + 1 - 8\sqrt3 =65 - 8\sqrt3.

Passo 3

Uma escolha natural de w que garante \|w\|^2=\|4u-v\|^2 e é paralela a \hat\imath é
w \;=\;\sqrt{\,65 - 8\sqrt3\,}\;\hat\imath.
De fato \|w\|^2=(\sqrt{65-8\sqrt3})^2=65-8\sqrt3.

Passo 4

Agora calculamos a projeção de u+v sobre w.
Pela fórmula
\mathrm{proj}_{w}(u+v) =\frac{(u+v)\cdot w}{\|w\|^2}\;w.
Note que
(u+v)\cdot w =(u+v)\cdot\bigl(\sqrt{65-8\sqrt3}\,\hat\imath\bigr) =\sqrt{65-8\sqrt3}\,\bigl((u+v)\cdot\hat\imath\bigr).
Mas como não conhecemos diretamente a componente (u+v)\cdot\hat\imath, é mais prático usar a projeção ortogonal sobre o mesmo vetor 4u-v, lembrando que a direção de 4u-v é a de \hat\imath. Isto dá exatamente o mesmo resultado vetorial.
Calculemos então
(u+v)\cdot(4u-v) =4\,u\cdot u - u\cdot v +4\,v\cdot u - v\cdot v =4\cdot4 - \sqrt3 +4\sqrt3 -1 =16 +3\sqrt3 -1 =15 +3\sqrt3.
E já sabemos \|4u-v\|^2=65-8\sqrt3. Logo, usando w paralelo a 4u-v,
\mathrm{proj}_{w}(u+v) =\frac{15+3\sqrt3}{65-8\sqrt3}\,(4u-v).

Resposta

(a) w = \sqrt{65 - 8\sqrt3}\,\hat\imath.
(b) \displaystyle \mathrm{proj}_{w}(u+v) =\frac{15 + 3\sqrt3}{65 - 8\sqrt3}\,(4u - v).

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