Questão 5) Calcule, se existirem, os seguintes limites: \lim _{x \rightarrow+\infty} \operatorname{sen}\left(\frac{2+x-\pi x^{2}}{12 x-4 x^{2}}\right)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
Pede calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \operatorname{sen}\!\left(\frac{2+x-\pi x^{2}}{12 x-4 x^{2}}\right).
Informação dada: a expressão dentro do seno é a razão de dois polinômios em x.
Objetivo: encontrar o valor (se existir) do limite quando x cresce sem limite para +\infty.
Passo 2
Analisar o comportamento da fração dentro do seno quando x\to+\infty.
Quando temos uma razão de polinômios, o comportamento para x\to\infty é dominado pelos termos de maior grau: aqui o numerador tem termo líder -\pi x^{2} e o denominador tem termo líder -4x^{2}. Vamos tornar isso rigoroso dividindo numerador e denominador por x^{2} (a maior potência presente):
Explicando o passo: dividir cada termo por x^{2} reduz todos os termos ao mesmo denominador, e termos como \dfrac{1}{x} e \dfrac{2}{x^{2}} tendem a 0 quando x\to+\infty.
Passo 3
Tomar o limite da fração simplificada quando x\to+\infty. Observando os termos que tendem a zero:
Portanto o argumento do seno converge para \dfrac{\pi}{4}.
Passo 4
Usar a continuidade do seno para trocar o limite e a função:
A função \operatorname{sen} (seno) é contínua em todo \mathbb{R}. Regra importante (explicação didática): se g(x)\to L e f é contínua em L, então \lim_{x\to a} f(g(x))=f(L). Aqui g(x) é a fração que acabamos de analisar e f=\operatorname{sen}. Como g(x)\to \dfrac{\pi}{4} e \operatorname{sen} é contínua em \dfrac{\pi}{4}, vale
Calcular \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right). Explicação geométrica curta: \dfrac{\pi}{4} radianos é 45^\circ. Num triângulo retângulo isósceles com catetos iguais, as razões seno e cosseno são iguais e valem \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Assim