Questão 5) Calcule, se existirem, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \operatorname{sen}\left(\frac{2+x-\pi x^{2}}{12 x-4 x^{2}}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \operatorname{sen}\!\left(\frac{2+x-\pi x^{2}}{12 x-4 x^{2}}\right).
  • Informação dada: a expressão dentro do seno é a razão de dois polinômios em x.
  • Objetivo: encontrar o valor (se existir) do limite quando x cresce sem limite para +\infty.

Passo 2

Analisar o comportamento da fração dentro do seno quando x\to+\infty.
Quando temos uma razão de polinômios, o comportamento para x\to\infty é dominado pelos termos de maior grau: aqui o numerador tem termo líder -\pi x^{2} e o denominador tem termo líder -4x^{2}. Vamos tornar isso rigoroso dividindo numerador e denominador por x^{2} (a maior potência presente):
\frac{2+x-\pi x^{2}}{12x-4x^{2}} = \frac{\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{x}{x^{2}}-\pi}{\dfrac{12x}{x^{2}}-4} = \frac{\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{1}{x}-\pi}{\dfrac{12}{x}-4}.
Explicando o passo: dividir cada termo por x^{2} reduz todos os termos ao mesmo denominador, e termos como \dfrac{1}{x} e \dfrac{2}{x^{2}} tendem a 0 quando x\to+\infty.

Passo 3

Tomar o limite da fração simplificada quando x\to+\infty. Observando os termos que tendem a zero:
\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{1}{x}-\pi}{\dfrac{12}{x}-4}\right) = \frac{0+0-\pi}{0-4} = \frac{-\pi}{-4} = \frac{\pi}{4}.
Portanto o argumento do seno converge para \dfrac{\pi}{4}.

Passo 4

Usar a continuidade do seno para trocar o limite e a função:
A função \operatorname{sen} (seno) é contínua em todo \mathbb{R}. Regra importante (explicação didática): se g(x)\to L e f é contínua em L, então \lim_{x\to a} f(g(x))=f(L). Aqui g(x) é a fração que acabamos de analisar e f=\operatorname{sen}. Como g(x)\to \dfrac{\pi}{4} e \operatorname{sen} é contínua em \dfrac{\pi}{4}, vale
\lim_{x\to+\infty} \operatorname{sen}\!\left(\frac{2+x-\pi x^{2}}{12 x-4 x^{2}}\right) = \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{4}\right).

Passo 5

Calcular \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right). Explicação geométrica curta: \dfrac{\pi}{4} radianos é 45^\circ. Num triângulo retângulo isósceles com catetos iguais, as razões seno e cosseno são iguais e valem \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Assim
\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{2}}{2}