Questão 2: Calcule o limite L, quando existir. Caso contrário, justifique.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{y{3}}{\sqrt{\left(x{2}+y{2}\right){3}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite L, quando existir, de
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{y^{3}}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão é \dfrac{y^{3}}{\sqrt{(x^{2}+y^{2})^{3}}}.
  • O ponto onde queremos o limite é (x,y)\to(0,0).
  • A expressão está bem definida para (x,y)\neq(0,0); no ponto (0,0) a forma original fica indeterminada porque o denominador é zero.
    A pergunta é: esse limite existe? Se sim, qual é o valor L? Se não, justificar por que não existe.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão usando regras de potência/raiz. Lembre que \sqrt{A^{3}}=(A)^{3/2}. Portanto
\frac{y^{3}}{\sqrt{(x^{2}+y^{2})^{3}}}=\frac{y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.
Explicando a regra usada: para qualquer A\ge0,
A^{3/2}=(A^{1/2})^{3}=(\sqrt{A})^{3}.
Assim reescrevemos a função de forma mais manejável.

Passo 3

Uma forma muito prática para limites em (x,y)\to(0,0) é usar coordenadas polares. Definimos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge 0.
Aqui r\to 0^{+} corresponde a (x,y)\to(0,0) independentemente de \theta. Substituindo na expressão:
o numerador fica (r\sin\theta)^{3}=r^{3}\sin^{3}\theta e o denominador fica (r^{2})^{3/2}=r^{3}. Logo
\frac{y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}=\frac{r^{3}\sin^{3}\theta}{r^{3}}=\sin^{3}\theta.
Note o cancelamento exato de r^{3}: isso significa que o valor da expressão depende só do ângulo \theta, e não do raio r.

Passo 4

Interpretação importante: ao aproximar (x,y) de (0,0), o parâmetro r tende a 0, mas \theta pode assumir qualquer valor (direção de aproximação). Como a expressão vale exatamente \sin^{3}\theta para todos os r>0, o limite quando (x,y)\to(0,0) existe somente se \sin^{3}\theta for o mesmo para todas as direções \theta. Mas \sin^{3}\theta varia com \theta.

Passo 5

Para ver concretamente que há dependência da direção, calculemos alguns casos:
  • Aproximando ao longo do eixo x (ou seja \theta=0), obtemos
\sin^{3}0 = 0.
  • Aproximando ao longo do eixo y positivo (ou seja \theta=\tfrac{\pi}{2}), obtemos
\sin^{3}\tfrac{\pi}{2} = 1.
Como duas direções dão limites diferentes ( 0 e 1), o limite total não pode existir.

Passo 6

Podemos também usar aproximações por retas y=mx para ver uma família de valores. Se y=mx e x\to 0, então \theta=\arctan m e o valor limite ao longo dessa reta é
\left(\frac{m}{\sqrt{1+m^{2}}}\right)^{3},
que depende de m. Por exemplo, para m=1 obtemos
\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{3}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\neq 0\text{ e }\neq 1.
Isso reforça que há muitos valores possíveis dependendo da direção.

Passo 7

Uma observação extra: |\sin\theta|\le 1 para todo \theta, logo \left|\dfrac{y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}\right|=|\sin^{3}\theta|\le 1. Ou seja, a função é limitada, mas ser limitada não garante existência do limite no ponto: é preciso unicidade do valor limite, o que não ocorre aqui.

Passo 8

Conclusão: como o valor da expressão ao tender para (0,0) depende da direção (por exemplo 0 ao longo do eixo x e 1 ao longo do eixo y), o limite não existe.

Resposta

Não existe.