Questão 7. Calcule os limites a seguir usando o teorema do confronto/sanduiche.
\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-x} \sin x

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o limite quando x \to +\infty da função
e^{-x}\sin x.
Informações dadas:
  • A expressão a ser analisada é e^{-x}\sin x.
  • O parâmetro que tende é x e o sentido é x\to+\infty.
  • A pergunta é: qual é o valor de \displaystyle\lim_{x\to+\infty} e^{-x}\sin x?

Passo 2

Vamos lembrar uma desigualdade básica sobre \sin x: para todo x real vale
-1 \le \sin x \le 1.
Isto é intuitivo: a função seno oscila entre -1 e 1 para qualquer argumento. Essa desigualdade é a ferramenta inicial para “controlar” o termo \sin x, que é oscilante e não tem limite quando x\to+\infty.

Passo 3

Observe que para todo x real temos e^{-x}>0. Como multiplicar uma desigualdade por um número positivo preserva a desigualdade, multiplicando -1 \le \sin x \le 1 por e^{-x} obtemos, para todo x,
-e^{-x} \le e^{-x}\sin x \le e^{-x}.
Isso nos deu duas funções que “encaram” e^{-x}\sin x por baixo e por cima: -e^{-x} e e^{-x}.

Passo 4

Agora calculamos os limites das duas funções que servem de cota quando x\to+\infty. Note que
e^{-x}=\frac{1}{e^{x}}.
Como \displaystyle\lim_{x\to+\infty} e^{x}=+\infty, o recíproco tende a zero, ou seja,
\lim_{x\to+\infty} e^{-x}=0.
Daí segue imediatamente que
\lim_{x\to+\infty} \bigl(-e^{-x}\bigr)=0
porque multiplicar por -1 só muda o sinal.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Confronto (teorema da sanduíche): se uma função f(x) satisfaz
g(x)\le f(x)\le h(x)
para todo x em um vizinhança (ou intervalo) e \lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L, então \lim_{x\to a} f(x)=L.
Aqui temos, para x\to+\infty,
-e^{-x} \le e^{-x}\sin x \le e^{-x},
e já vimos que ambos os limites das funções de contorno são 0. Pelo teorema do confronto segue que
\lim_{x\to+\infty} e^{-x}\sin x = 0.

Resposta

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