Questão 7. Calcule os limites a seguir usando o teorema do confronto/sanduiche.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o limite quando
da função
Informações dadas:
- A expressão a ser analisada é
. - O parâmetro que tende é
e o sentido é . - A pergunta é: qual é o valor de
?
Passo 2
Vamos lembrar uma desigualdade básica sobre
: para todo
real vale
Isto é intuitivo: a função seno oscila entre
e
para qualquer argumento. Essa desigualdade é a ferramenta inicial para “controlar” o termo
, que é oscilante e não tem limite quando
.
Passo 3
Observe que para todo
real temos
. Como multiplicar uma desigualdade por um número positivo preserva a desigualdade, multiplicando
por
obtemos, para todo
,
Isso nos deu duas funções que “encaram”
por baixo e por cima:
e
.
Passo 4
Agora calculamos os limites das duas funções que servem de cota quando
. Note que
Como
, o recíproco tende a zero, ou seja,
Daí segue imediatamente que
porque multiplicar por
só muda o sinal.
Passo 5
Aplicando o Teorema do Confronto (teorema da sanduíche): se uma função
satisfaz
para todo
em um vizinhança (ou intervalo) e
, então
.
Aqui temos, para
,
e já vimos que ambos os limites das funções de contorno são
. Pelo teorema do confronto segue que