Questão (7(2,0)). Calcule, utilizando as propriedades cic limite os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5 x^{3}-6 x-3}{6 x^{3}+2}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x \to \infty} \frac{5x^{3} - 6x - 3}{6x^{3} + 2}.
O conteúdo é limite de quociente de polinômios de mesma ordem e vamos usar a propriedade de que, para x\to\infty, termos com 1/x^k tendem a zero.

Passo 2

Para simplificar, fatoramos x^{3} no numerador e no denominador:
\frac{5x^{3} - 6x - 3}{6x^{3} + 2} = \frac{x^{3}\bigl(5 - \tfrac{6}{x^{2}} - \tfrac{3}{x^{3}}\bigr)}{x^{3}\bigl(6 + \tfrac{2}{x^{3}}\bigr)} = \frac{5 - \tfrac{6}{x^{2}} - \tfrac{3}{x^{3}}}{6 + \tfrac{2}{x^{3}}}.

Passo 3

Aplicando agora o limite em cada termo sabendo que
\lim_{x\to\infty}\tfrac{1}{x^{k}}=0 para k>0, temos
\lim_{x\to\infty}\Bigl(5 - \tfrac{6}{x^{2}} - \tfrac{3}{x^{3}}\Bigr)=5, \qquad \lim_{x\to\infty}\Bigl(6 + \tfrac{2}{x^{3}}\Bigr)=6.

Passo 4

Como o limite do quociente é o quociente dos limites (desde que o limite do denominador seja não nulo), concluímos
\lim_{x\to\infty} \frac{5x^{3} - 6x - 3}{6x^{3} + 2} = \frac{5}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{6}

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