QUESTÃO 2: (Cálculo Diferencial e Integral)
a) Calcule a expressão para o volume de um cone de altura \mathbf{H} e raio da base \mathbf{R} usando integração.
b) Calcule a altura do cilindro de maior volume que pode ser inscrito em um cone de altura \mathbf{H} e raio da base \mathbf{R}.
Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Vou listar claramente o que é dado e o que pede:
Dados: \;H é a altura do cone e \;R é o raio da base do cone.
Perguntas:
a) Calcular a expressão do volume do cone em função de \;H e \;R usando integração.
b) Determinar a altura \;h do cilindro de maior volume que pode ser inscrito nesse cone (ou seja, o cilindro axial que cabe dentro do cone, com bases paralelas à base do cone).
Observação: todas as grandezas \;H,\;R,\;h são positivas e assumimos que o cilindro está com o eixo coincidente com o eixo do cone (situação padrão de “cilindro inscrito”).

Passo 2

Ideia para (a): usar o método dos discos (ou fatias). Explicação do método (bem didática): imagine cortar o cone por planos horizontais paralelos à base; cada fatia, muito fina, é aproximadamente um cilindro de espessura \;dx e área da base \;A(x). Somando (integrando) as áreas dessas fatias ao longo da altura obtemos o volume total. A fórmula geral é
V=\int_{x_1}^{x_2} A(x)\,dx,
onde A(x) é a área da secção transversal em altura x. Aqui vou escolher a origem no vértice do cone (ápice) e medir x ao longo do eixo até a base, então x varia de 0 (ápice) até H (base).

Passo 3

Determinar A(x): a secção transversal em altura x é um disco de raio r(x). Por semelhança de triângulos (porque o cone tem seção radial linear), o raio cresce linearmente de 0 em x=0 até R em x=H. Logo
r(x)=\frac{R}{H}\,x.
A área do disco é
A(x)=\pi\big(r(x)\big)^2=\pi\left(\frac{R}{H}x\right)^2=\pi\frac{R^2}{H^2}x^2.
Aqui expliquei o significado de cada símbolo: \;r(x) é o raio do corte no ponto x, \;R,H são as constantes dadas, e \;A(x) é a área do disco.

Passo 4

Agora integramos para obter o volume do cone:
V_{\text{cone}}=\int_{0}^{H} A(x)\,dx=\int_{0}^{H}\pi\frac{R^2}{H^2}x^2\,dx.
Fatorando as constantes:
V_{\text{cone}}=\pi\frac{R^2}{H^2}\int_{0}^{H} x^2\,dx.
Calcule a integral básica \int x^2\,dx=\tfrac{x^3}{3}. Aplicando os limites:
\int_{0}^{H} x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_{0}^{H}=\frac{H^3}{3}.
Substituindo:
V_{\text{cone}}=\pi\frac{R^2}{H^2}\cdot\frac{H^3}{3}=\frac{1}{3}\pi R^2 H.
Portanto obtivemos a fórmula clássica do volume do cone.

Passo 5

Começando (b): descrever o cilindro inscrito e as variáveis. Seja \;h a altura do cilindro inscrito que parte da base do cone para dentro (isto é, a base do cilindro coincide com a base do cone) e seja \;r o raio do cilindro. A figura mental: do topo do cilindro até o vértice do cone sobram \;H-h de altura do cone; no nível do topo do cilindro, o raio do cone é menor, e esse raio é justamente \;r. Usamos semelhança de triângulos para relacionar \;r e \;h.

Passo 6

Obter a relação entre \;r e \;h: considerando a semelhança entre o triângulo que define o cone (altura H, raio R) e o triângulo formado do vértice até o topo do cilindro (altura H-h, raio r), temos
\frac{r}{H-h}=\frac{R}{H}.
Isolando r:
r = \frac{R}{H}(H-h)=R\left(1-\frac{h}{H}\right).
Explicação: essa relação vem porque a razão raio/altura é constante ao longo do cone.

Passo 7

Expressar o volume do cilindro em função de \;h apenas e preparar a otimização. O volume do cilindro é
V_{\text{cil}}=\pi r^2 h.
Substituindo r pela expressão acima:
V_{\text{cil}}(h)=\pi\left[R\left(1-\frac{h}{H}\right)\right]^2 h =\pi R^2 h\left(1-\frac{h}{H}\right)^2.
Queremos o valor de h\in(0,H) que maximiza V_{\text{cil}}(h).

Passo 8

Facilitar a derivação com mudança de variável adimensional: seja \;u=\dfrac{h}{H}. Então u\in(0,1) e
V_{\text{cil}}(h)=\pi R^2 H\;u(1-u)^2.
Como \pi R^2 H é constante positiva, maximizar V_{\text{cil}} em h é o mesmo que maximizar
f(u)=u(1-u)^2
em u\in(0,1). Calcule a derivada:
f(u)=u-2u^2+u^3,\quad f'(u)=1-4u+3u^2.
Resolver f'(u)=0:
1-4u+3u^2=0 \quad\Longrightarrow\quad 3u^2-4u+1=0.
Essa quadrática tem raízes
u=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot3\cdot1}}{2\cdot3}=\frac{4\pm\sqrt{16-12}}{6}=\frac{4\pm2}{6}.
Logo u=\dfrac{4+2}{6}=1 ou u=\dfrac{4-2}{6}=\dfrac{1}{3}. O caso u=1 corresponde ao cilindro com altura h=H (raio zero), que não é máximo útil; portanto o candidato interior é u=\dfrac{1}{3}.
Para garantir que é máximo, calcule a segunda derivada:
f''(u)=-4+6u,
em u=\dfrac{1}{3} obtemos f''\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=-4+6\cdot\frac{1}{3}=-2<0, então é um ponto de máximo local — e como é o único crítico interior, é o máximo global em (0,1).

Passo 9

Concluir valores numa linguagem direta e calcular também o raio correspondente e o volume máximo (útil como justificativa): como u=\dfrac{h}{H}=\dfrac{1}{3}, temos
h=\frac{H}{3}.
O raio do cilindro no máximo é
r=R\left(1-\frac{h}{H}\right)=R\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{2R}{3}.
O volume máximo do cilindro inscrito vale
V_{\text{cil,max}}=\pi r^2 h=\pi\left(\frac{2R}{3}\right)^2\frac{H}{3}=\frac{4}{27}\pi R^2 H.
Comparação rápida: o volume do cone é \tfrac{1}{3}\pi R^2 H=\tfrac{9}{27}\pi R^2 H, então o cilindro ótimo ocupa \tfrac{4}{9} do volume do cone.

Resposta

\displaystyle V_{\text{cone}}=\frac{1}{3}\pi R^{2}H
\displaystyle h=\frac{H}{3}