Questão 2) Considere duas cargas conectadas em paralelo com as seguintes características. O sistema opera com frequência de 60 Hz .
Carga 1: \mathrm{P}_{\mathrm{I}}=4 \mathrm{~W}, fator de potência, \mathrm{FP}_{\mathrm{I}}=\sqrt{2} / 2 (indutivo).
Carga 2: \mathrm{Q}_{2}=-8 \mathrm{VAr}, \mathrm{S}_{2}=100 \mathrm{VA}.
a) Determine a potência complexa consumida pelo conjunto das duas cargas. (1 ponto)
b) Determine a potência reativa para que o FP do conjunto seja unitário. Esta potência é indutiva ou capacitiva? (1 ponto)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece dados das duas cargas (peguei todos os números do enunciado):
  • O sistema opera com frequência de 60\\ \mathrm{Hz} (não é necessário para parte (a), mas pode servir se quisermos calcular capacitância/indutância).
  • Carga 1:
    • P_{1}=4\\ \mathrm{W}.
    • \mathrm{FP}_{1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} (indutivo).
  • Carga 2:
    • Q_{2}=-8\\ \mathrm{VAr} (logo é capacitiva).
    • S_{2}=100\\ \mathrm{VA}.
As perguntas:
a) Determinar a potência complexa do conjunto das duas cargas (ou seja S_{\text{total}}=P_{\text{total}}+jQ_{\text{total}}).
b) Determinar a potência reativa a adicionar para que o fator de potência do conjunto seja unitário, e dizer se essa potência é indutiva ou capacitiva.

Passo 2

Breve revisão das fórmulas essenciais (pra lembrar como trabalhar com potência complexa):
  • Potência complexa: \displaystyle S = P + jQ, onde P é a potência ativa (W) e Q a potência reativa (VAr). S tem unidade VA.
  • Módulo da potência aparente: \displaystyle |S| = \sqrt{P^{2}+Q^{2}}.
  • Fator de potência (ângulo \varphi): \displaystyle \mathrm{FP}=\cos\varphi=\dfrac{P}{|S|}. Sinal de Q: Q>0 indica reativo indutivo (atraso), Q<0 indica reativo capacitivo (avanço).
  • Para combinar cargas em paralelo (ou somadas no sistema): soma-se diretamente as potências ativas e reativas: \displaystyle P_{\text{total}}=\sum P_{k},\quad Q_{\text{total}}=\sum Q_{k}.
Vou aplicar essas relações para cada carga e depois somar.

Passo 3

Analisar a Carga 1.
Dados: P_{1}=4\\ \mathrm{W} e \mathrm{FP}_{1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} indutivo.
  • Primeiro encontrar o ângulo \varphi_{1}. Como \cos\varphi_{1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, isso corresponde a \varphi_{1}=45^\circ.
  • A potência aparente da carga 1 é S_{1}=\frac{P_{1}}{\mathrm{FP}_{1}}=\frac{4}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=4\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}\\ \mathrm{VA}.
  • A potência reativa Q_{1} (indutiva, portanto positiva) pode ser obtida por Q_{1}=P_{1}\tan\varphi_{1}. Como \tan 45^\circ =1, Q_{1}=4\cdot 1=4\\ \mathrm{VAr}.
(cheque alternativo: Q_{1}=\sqrt{S_{1}^{2}-P_{1}^{2}}=\sqrt{(4\sqrt{2})^{2}-4^{2}}=\sqrt{32-16}=\sqrt{16}=4.)
Portanto para a carga 1: S_{1}=4\sqrt{2}+j4\\ \mathrm{VA}.

Passo 4

Analisar a Carga 2.
Dados: Q_{2}=-8\\ \mathrm{VAr} e S_{2}=100\\ \mathrm{VA}.
Temos a relação |S_{2}|^{2}=P_{2}^{2}+Q_{2}^{2}. Como S_{2}=100 e Q_{2}=-8,
P_{2}=\sqrt{S_{2}^{2}-Q_{2}^{2}}=\sqrt{100^{2}-(-8)^{2}}=\sqrt{10000-64}=\sqrt{9936}.
Podemos fatorar 9936=144\cdot 69, então
P_{2}= \sqrt{144\cdot 69}=12\sqrt{69}\\ \mathrm{W}.
Número aproximado:
12\sqrt{69}\approx 12\cdot 8{,}3066239\approx 99{,}679\\ \mathrm{W}.
Portanto a potência complexa da carga 2 é
S_{2}=P_{2}+jQ_{2}=12\sqrt{69}-j8\\ \mathrm{VA}\approx 99{,}679 - j8\\ \mathrm{VA}.

Passo 5

Somar as potências das duas cargas para obter a potência do conjunto.
  • Potência ativa total: P_{\text{total}}=P_{1}+P_{2}=4 + 12\sqrt{69}\\ \mathrm{W}\approx 4 + 99{,}679 = 103{,}679\\ \mathrm{W}.
  • Potência reativa total: Q_{\text{total}}=Q_{1}+Q_{2}=4 + (-8) = -4\\ \mathrm{VAr}.
Logo a potência complexa do conjunto é
S_{\text{total}}=P_{\text{total}}+jQ_{\text{total}}=\left(4+12\sqrt{69}\right) - j4\\ \mathrm{VA}\approx 103{,}679 - j4\\ \mathrm{VA}.
Observação rápida (didática): o sinal Q_{\text{total}}=-4 indica que, no conjunto, há excesso de reativo capacitivo (ou seja, o conjunto é ligeiramente capacitivo).

Passo 6

Parte (b): potência reativa necessária para que o fator de potência do conjunto seja unitário.
  • Para ter FP unitário precisamos anular a componente reativa total. Se adicionarmos ao sistema uma potência reativa Q_{\text{ad}}, a condição é Q_{\text{total}} + Q_{\text{ad}} = 0 \quad\Rightarrow\quad Q_{\text{ad}} = -Q_{\text{total}}.
  • Como Q_{\text{total}}=-4\\ \mathrm{VAr}, vem Q_{\text{ad}}=-(-4)=+4\\ \mathrm{VAr}.
  • Sinal positivo de Q_{\text{ad}} significa que a potência reativa a ser adicionada é indutiva (ou seja, um reativo indutivo, equivalente a um indutor que consome reativo positivo). Em palavras: como o conjunto está ligeiramente capacitivo ( Q_{\text{total}}<0), precisa-se acrescentar reativo indutivo de 4\\ \mathrm{VAr} para obter FP igual a 1.

Resposta

a) S_{\text{total}}=\left(4+12\sqrt{69}\right)-j4\\ \mathrm{VA}\approx 103{,}679-j4\\ \mathrm{VA}
b) Q_{\text{ad}}=+4\\ \mathrm{VAr} (indutiva)

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