Duas espiras de corrente idênticas têm seus centros em ( (0,0,0) ) e ( (0,0,4) ), e seus eixos ao longo do eixo z (de modo a formar uma bobina de Helmholtz). Se cada espira tem um raio de 2 m e é percorrida por uma corrente de 5A em \hat{a}_{phi}, calcule \vec{H} em:
((0,0,2) )m.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei tudo do enunciado):
    • Duas espiras idênticas centradas em (0,0,0) e (0,0,4) (unidades: metros).
    • Eixos das espiras ao longo do eixo z.
    • Raio de cada espira: a=2\\ \mathrm{m}.
    • Corrente em cada espira: I=5\\ \mathrm{A}, no sentido \hat{a}_{\varphi} (mesmo sentido em ambas).
    • Ponto onde calcular: (0,0,2)\\ \mathrm{m} (o ponto médio entre as espiras).
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular \vec{H} no ponto (0,0,2).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rapidinhas): campo magnético no eixo de uma espira circular.
  • Pelo resultado padrão da lei de Biot–Savart para uma espira circular de raio a, centrada na origem e no plano z=0, o componente axial do campo magnético \vec{B} no ponto do eixo a uma distância z do centro da espira tem magnitude
B(z)=\frac{\mu_{0}\,I\,a^{2}}{2\bigl(a^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}.
Aqui:
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo ( \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}),
  • I é a corrente na espira,
  • a é o raio da espira,
  • z é a coordenada ao longo do eixo medida a partir do centro da espira até o ponto onde se calcula o campo.
  • Direção: o campo \vec{B} ao longo do eixo é paralelo ao eixo z. O sentido (mais +z ou -z) é obtido pela regra da mão direita: se a corrente vista do lado +z for no sentido anti-horário ( \hat{a}_\varphi como no enunciado), o campo ao lado +z do centro aponta em +\hat{z}; ao lado oposto do centro aponta em -\hat{z}. Em termos práticos, para uma espira centrada em z=z_0 o sinal da contribuição axial depende do sinal de z-z_0.
  • Relação entre \vec{B} e \vec{H} no vácuo:
\vec{H}=\frac{1}{\mu_{0}}\vec{B}.

Passo 3

Aplicar a fórmula separadamente para cada espira, olhando as posições relativas ao ponto (0,0,2).
  • Para a espira centrada em (0,0,0):
    • Distância axial do centro até o ponto é z_{1}=2-0=2\\ \mathrm{m}.
    • Magnitude do campo devido a essa espira:
    B_{1}=\frac{\mu_{0}\,I\,a^{2}}{2\bigl(a^{2}+z_{1}^{2}\bigr)^{3/2}} =\frac{\mu_{0}\,I\,a^{2}}{2\bigl(a^{2}+2^{2}\bigr)^{3/2}}.
    • Sentido: como a corrente é \hat{a}_{\varphi} (sentido anti-horário visto do +z), e o ponto está acima da espira ( z_{1}>0), a contribuição dessa espira em (0,0,2) aponta em +\hat{z}. Logo
    \vec{B}_{1}=+B_{1}\,\hat{z}.
  • Para a espira centrada em (0,0,4):
    • Distância axial do centro até o ponto é z_{2}=2-4=-2\\ \mathrm{m}. (Note o sinal: o ponto está abaixo do centro dessa espira.)
    • Magnitude do campo devido a essa espira:
    B_{2}=\frac{\mu_{0}\,I\,a^{2}}{2\bigl(a^{2}+z_{2}^{2}\bigr)^{3/2}} =\frac{\mu_{0}\,I\,a^{2}}{2\bigl(a^{2}+(-2)^{2}\bigr)^{3/2}}.
    • Sentido: para a mesma orientação de corrente, visto do +z a espira em z=4 também seria anti-horária; porém o ponto está do lado negativo do seu centro ( z_{2}<0), então a contribuição dessa espira no ponto aponta em -\hat{z}. Assim
    \vec{B}_{2}=-B_{2}\,\hat{z}.

Passo 4

Comparação das magnitudes e soma vetorial.
  • Observe que z_{1}=2 e |z_{2}|=2, então os módulos B_{1} e B_{2} são iguais:
B_{1}=B_{2}=\frac{\mu_{0}\,I\,a^{2}}{2\bigl(a^{2}+2^{2}\bigr)^{3/2}}.
  • Como \vec{B}_{1}=+B_{1}\,\hat{z} e \vec{B}_{2}=-B_{2}\,\hat{z} com B_{1}=B_{2}, as duas contribuições se cancelam exatamente:
\vec{B}_{\text{total}}=\vec{B}_{1}+\vec{B}_{2}=B_{1}\hat{z}-B_{2}\hat{z}=0.

Passo 5

Conclusão para \vec{H}.
  • Como \vec{B}_{\text{total}}=\vec{0}, então no vácuo
\vec{H}=\frac{1}{\mu_{0}}\vec{B}_{\text{total}}=\vec{0}.
  • Em palavras amigáveis: no ponto exatamente no meio entre as duas espiras idênticas com corrente no mesmo sentido, os campos das duas espiras têm mesma magnitude e sentidos opostos, portanto se anulam.

Resposta

\vec{H}=\vec{0}\\ \mathrm{A/m}

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