Duas espiras de corrente idênticas têm seus centros em ( (0,0,0) ) e ( (0,0,4) ), e seus eixos ao longo do eixo z (de modo a formar uma bobina de Helmholtz). Se cada espira tem um raio de 2 m e é percorrida por uma corrente de 5A em \hat{a}_{phi}, calcule \vec{H} em:
((0,0,2) )m.
((0,0,2) )m.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados (peguei tudo do enunciado):
- Duas espiras idênticas centradas em
e (unidades: metros). - Eixos das espiras ao longo do eixo
. - Raio de cada espira:
. - Corrente em cada espira:
, no sentido (mesmo sentido em ambas). - Ponto onde calcular:
(o ponto médio entre as espiras).
- Duas espiras idênticas centradas em
-
O que o enunciado pede:
- Calcular
no ponto .
- Calcular
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rapidinhas): campo magnético no eixo de uma espira circular.
- Pelo resultado padrão da lei de Biot–Savart para uma espira circular de raio
, centrada na origem e no plano , o componente axial do campo magnético no ponto do eixo a uma distância do centro da espira tem magnitude
Aqui:
-
é a permeabilidade do vácuo ( ), -
é a corrente na espira, -
é o raio da espira, -
é a coordenada ao longo do eixo medida a partir do centro da espira até o ponto onde se calcula o campo. -
Direção: o campo
ao longo do eixo é paralelo ao eixo . O sentido (mais +z ou -z) é obtido pela regra da mão direita: se a corrente vista do lado +z for no sentido anti-horário ( como no enunciado), o campo ao lado +z do centro aponta em ; ao lado oposto do centro aponta em . Em termos práticos, para uma espira centrada em o sinal da contribuição axial depende do sinal de . -
Relação entre
e no vácuo:
Passo 3
Aplicar a fórmula separadamente para cada espira, olhando as posições relativas ao ponto
.
-
Para a espira centrada em
: - Distância axial do centro até o ponto é
. - Magnitude do campo devido a essa espira:
- Sentido: como a corrente é
(sentido anti-horário visto do +z), e o ponto está acima da espira ( ), a contribuição dessa espira em aponta em . Logo
- Distância axial do centro até o ponto é
-
Para a espira centrada em
: - Distância axial do centro até o ponto é
. (Note o sinal: o ponto está abaixo do centro dessa espira.) - Magnitude do campo devido a essa espira:
- Sentido: para a mesma orientação de corrente, visto do +z a espira em
também seria anti-horária; porém o ponto está do lado negativo do seu centro ( ), então a contribuição dessa espira no ponto aponta em . Assim
- Distância axial do centro até o ponto é
Passo 4
Comparação das magnitudes e soma vetorial.
- Observe que
e , então os módulos e são iguais:
- Como
e com , as duas contribuições se cancelam exatamente:
Passo 5
Conclusão para
.
- Como
, então no vácuo
- Em palavras amigáveis: no ponto exatamente no meio entre as duas espiras idênticas com corrente no mesmo sentido, os campos das duas espiras têm mesma magnitude e sentidos opostos, portanto se anulam.