e pede para encontrar uma matriz X de ordem 2 tal que
A\cdot X-3 I_{2}=0_{2}.
Informações relevantes:
A matriz A está acima (anotei todas as entradas).
I_{2} é a matriz identidade 2\times2.
0_{2} é a matriz nula 2\times2.
A incógnita é a matriz X de ordem 2.
O objetivo final é determinar explicitamente as entradas de X.
Passo 2
Reescrevemos a equação dada isolando A\cdot X. Somando 3I_{2} aos dois lados obtemos
A\cdot X=3 I_{2}.
Isto é claro: queremos uma matriz X que, ao ser multiplicada à direita por A, produza 3I_{2}.
Passo 3
Estratégia para resolver A\cdot X=3I_{2}: se A for invertível (ou seja, tiver inversa A^{-1}), podemos multiplicar à esquerda por A^{-1} e obter
X=A^{-1}\cdot(3I_{2})=3A^{-1}.
Aqui usei a propriedade de escalares: multiplicar a identidade por 3 é o mesmo que fatorar o escalar depois. Então o problema reduz-se a calcular A^{-1}. Vou explicar a fórmula do inverso para matrizes 2\times2: para
M=\left(\begin{array}{cc}a & b\\\ c & d\end{array}\right),
seu determinante é \det(M)=ad-bc. Se \det(M)\neq 0, então
que é exatamente o que queríamos. Portanto a matriz X encontrada está correta.
Passo 8
Boa! Você conseguiu — seguem os passos práticos que você pode repetir numa prova: 1) isole A X, 2) verifique se A é inversível calculando \det(A), 3) aplique a fórmula do inverso (no caso 2\times2 há fórmula direta), 4) calcule X=3A^{-1} e 5) verifique multiplicando. Respire, fez certinho!