Questão 3: Considere a matriz
A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ -1 & 4 \end{array}\right)
Encontre uma matriz X de ordem 2 tal que A \cdot X-3 I_{2}=0_{2}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ -1 & 4 \end{array}\right)
e pede para encontrar uma matriz X de ordem 2 tal que
A\cdot X-3 I_{2}=0_{2}.
Informações relevantes:
  • A matriz A está acima (anotei todas as entradas).
  • I_{2} é a matriz identidade 2\times2.
  • 0_{2} é a matriz nula 2\times2.
  • A incógnita é a matriz X de ordem 2.
    O objetivo final é determinar explicitamente as entradas de X.

Passo 2

Reescrevemos a equação dada isolando A\cdot X. Somando 3I_{2} aos dois lados obtemos
A\cdot X=3 I_{2}.
Isto é claro: queremos uma matriz X que, ao ser multiplicada à direita por A, produza 3I_{2}.

Passo 3

Estratégia para resolver A\cdot X=3I_{2}: se A for invertível (ou seja, tiver inversa A^{-1}), podemos multiplicar à esquerda por A^{-1} e obter
X=A^{-1}\cdot(3I_{2})=3A^{-1}.
Aqui usei a propriedade de escalares: multiplicar a identidade por 3 é o mesmo que fatorar o escalar depois. Então o problema reduz-se a calcular A^{-1}. Vou explicar a fórmula do inverso para matrizes 2\times2: para
M=\left(\begin{array}{cc}a & b\\\ c & d\end{array}\right),
seu determinante é \det(M)=ad-bc. Se \det(M)\neq 0, então
M^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d & -b\\\\ -c & a\end{array}\right).
O determinante ser diferente de zero garante que existe uma inversa.

Passo 4

Calculamos o determinante de A. Para A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2\\\\ -1 & 4\end{array}\right) temos
\det(A)=1\cdot 4 - 2\cdot(-1)=4+2=6.
Como \det(A)=6\neq 0, a matriz A é invertível e podemos usar a fórmula do inverso.

Passo 5

Aplicando a fórmula do inverso para A:
troca-se a com d e invertem-se os sinais de b e c, dividindo pelo determinante. Assim
A^{-1}=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{cc}4 & -2\\\\ 1 & 1\end{array}\right).
Expliquei: troquei 1 e 4 de posição, e mudei 2 para -2 e -1 para 1.

Passo 6

Agora calculamos X=3A^{-1}. Multiplicando o escalar 3 pela matriz acima:
X=3\cdot\frac{1}{6}\left(\begin{array}{cc}4 & -2\\\\ 1 & 1\end{array}\right)=\frac{3}{6}\left(\begin{array}{cc}4 & -2\\\\ 1 & 1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4 & -2\\\\ 1 & 1\end{array}\right).
Agora simplifico multiplicando \tfrac{1}{2} nas entradas:
X=\left(\begin{array}{cc}2 & -1\\\ \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\end{array}\right).

Passo 7

Verificação (muito importante — isso dá confiança na resposta). Vou multiplicar A por X e mostrar que dá 3I_{2}.
Calculemos A\cdot X. Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
1\cdot 2 + 2\cdot \tfrac{1}{2}=2+1=3.
Elemento (linha 1, coluna 2):
1\cdot(-1)+2\cdot \tfrac{1}{2}=-1+1=0.
Elemento (linha 2, coluna 1):
(-1)\cdot 2 + 4\cdot \tfrac{1}{2}=-2+2=0.
Elemento (linha 2, coluna 2):
(-1)\cdot(-1)+4\cdot \tfrac{1}{2}=1+2=3.
Reagrupando,
A\cdot X=\left(\begin{array}{cc}3 & 0\\\\ 0 & 3\end{array}\right)=3I_{2},
que é exatamente o que queríamos. Portanto a matriz X encontrada está correta.

Passo 8

Boa! Você conseguiu — seguem os passos práticos que você pode repetir numa prova: 1) isole A X, 2) verifique se A é inversível calculando \det(A), 3) aplique a fórmula do inverso (no caso 2\times2 há fórmula direta), 4) calcule X=3A^{-1} e 5) verifique multiplicando. Respire, fez certinho!

Resposta

\left(\begin{array}{cc}2 & -1\\\ \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\end{array}\right)