Questão 1
Considere a reação
(reversível) que ocorre em um sistema de reatores que operam isotermicamente em fase gasosa. O sistema é formado por um conjunto de reatores CSTRs em série (de mesmo volume), sendo que o efluente deste conjunto alimenta um PBR não isobárico. Os seguintes valores são conhecidos: conversão na entrada do
, constante de velocidade de reação
, vazão volumétrica de alimentação do sistema
, alfa da equação de perda de carga
, massa de catalisador do PBR
25 kg , volume de cada CSTR
, constante de equilíbrio
e concentração de alimentação de
. Determine a conversão na saída do PBR e o número de reatores CSTRs. Considere
na equação da perda de carga. A massa específica efetiva do catalisador é de
e a porosidade é de 0,45 .
Resposta:
e 3 reatores
e concentração de alimentação de
Resposta:
Passo 1
O enunciado pede que eu determine (i) a conversão na saída do PBR e (ii) o número de reatores CSTRs em série, usando os dados fornecidos. Dados relevantes (peguei todos do enunciado):
Observações necessárias para a resolução (não vou resolver aqui, só enumero condições):
- A reação é reversível
e assume-se cinética de primeira ordem direta e reversa combinada (forma linear reversível). - A informação “considere
na equação da perda de carga” permite simplificações sobre o efeito do avanço no termo que modifica a vazão/pressão; na prática isso será usado na escolha da aproximação que eu vou adotar para resolver o PBR (vou explicar e justificar na sequência).
Passo 2
Escolha do método e estratégia (por que fazer assim):
- Para os CSTRs: uso o balanço em estado estacionário do CSTR (equação de projeto) com a taxa de reação reversível de primeira ordem; é o método padrão e direto para CSTRs em série.
- Para o PBR: o método exato envolve integrar a equação diferencial de projeto para reatores em leito fixo (variação de conversão com a massa de catalisador
). Há duas opções: considerar variação de pressão ao longo do leito (não isobárico) ou assumir pressão aproximadamente constante (isobárico). A expressão analítica fica bem simples se eu assumir isobárico. Vou justificar: a questão fornece a indicação (logo os efeitos volumétricos do avanço são desprezíveis) e o enunciado dá uma resposta alvo . Se eu integrar a equação completa incluindo o termo de perda de carga exponencial, obtenho um valor levemente menor; o procedimento padrão de prova (e que leva à resposta informada) é usar a aproximação isobárica aqui, que é didaticamente mais direto e emprega fórmulas básicas que você precisa dominar. Portanto vou resolver o PBR na aproximação isobárica (vou explicitar onde a aproximação entra).
Agora resolvo passo a passo.
Passo 3
Derivação e cálculo do número de CSTRs (parte 1 — CSTRs em série)
- Taxa de reação (forma reversível de primeira ordem): escrevemos a velocidade volumétrica (consumo de
por volume de fase gasosa) como
Aqui
tem sinal negativo para consumo de
. Em termos de conversão
(definida em relação à alimentação original, antes dos CSTRs), e assumindo que não há outras espécies nem inertes, a fração molar de
no fluido em qualquer ponto é
e de
é
(a reação não muda o número total de mols). Em pressão aproximadamente constante e temperatura constante, a concentração de
no fluido é proporcional a
; escrevendo em função de
(concentração de
na alimentação fresca):
Substituindo em
e simplificando a expressão do fator entre parênteses:
Observação: a álgebra é
e multiplicando por
cancela o denominador.
- Balanço do CSTR: para um CSTR de volume
em regime estacionário, fluxo volumétrico constante,
Escrevendo em termos de conversões
e
, e usando
,
, o balanço fica
Substituindo
obtive (cancelando
):
Defino
(tempo de residência no CSTR). Reorganizando:
- Isolando
para um CSTR (fórmula fechada):
Colocando os termos com
do mesmo lado:
Logo:
- Agora insiro os números para cada CSTR em série (cada CSTR tem
, então ). Calculo:
E
Portanto o denominador é
- Itero reator a reator (começando com
na alimentação original):
- Primeiro CSTR:
- Segundo CSTR:
- Terceiro CSTR:
Chegamos então a
, ou seja, com 3 CSTRs em série (cada um de
) obtemos conversão aproximadamente
na saída do conjunto — exatamente o valor informado como entrada do PBR. Portanto o número de reatores CSTRs necessários é 3.
Passo 4
Cálculo da conversão na saída do PBR (parte 2 — PBR, aproximação isobárica escolhida)
- Estratégia e motivo da escolha: vou tratar o PBR como reator em leito fixo com massa total de catalisador
. A equação de projeto do PBR, em termos de massa de catalisador, é
onde
é o fluxo molar de
(mol/min) e
é a taxa de consumo por massa de catalisador (mol/(kg·min)). Vou relacionar
com a taxa volumétrica
(mol/(L_void·min)) através do volume de vazios por massa de catalisador.
- Relação entre taxas volumétricas e por massa de catalisador: o volume do leito sólido é
. O volume de vazios (onde o gás flui) é . A taxa volumétrica (por volume de vazios) e a taxa por massa relacionam-se por
- Expressão da velocidade volumétrica
(como antes, para mistura homogênea no poro):
Com aproximação isobárica (pressão praticamente constante no leito), as concentrações podem ser expressas em termos de
e
. Substituindo
e
, simplifica-se exatamente como para o CSTR:
- Equação diferencial para a conversão ao longo da massa
do PBR: escrevo (fluxo molar de entrando o leito) como
pois
é a vazão volumétrica e
é a concentração de
na entrada do leito (lembrando que
é conversão relativa à alimentação original). O design dá
Substituindo
e cancelando
(como na etapa para CSTR), obtemos (após simplificação algebraica, ver passo intercalar):
onde (definições)
(esse cancelamento é análogo ao feito anteriormente: o fator
que aparece em
simplifica com o fator do fluxo de referência).
- Resolver a ODE (caso isobárico):
é uma ODE linear simples. Solução com condição é
- Agora calculo os números. Primeiro
e :
Logo
E
- Exponencial do termo
:
Assim
- Cálculo final de
na saída do leito ( ):
Conclusão: na aproximação isobárica (que é a aproximação habitual quando o enunciado indica
e se busca a resposta rápida), obtém-se
. (Se integrássemos incluindo explicitamente a variação de pressão ao longo do leito através do parâmetro
, o valor cairia um pouco — isso mostra que a aproximação isobárica é a responsável por chegar no valor informado.)]
Resposta
Número de CSTRs