Questão 3: Uma corda de comprimento 1,5 m e densidade linear 4,7 \mathrm{~g} / \mathrm{m} vibra em seu 3^{\circ} harmônico com frequênci de 340 Hz . Determine a tensão na corda.
(A) 869 N
(B) 761 N
(C) 543 N
(D) 652 N
(E) 163 N
(F) 435 N
(G) 272 N
(H) 1,141 \times 10^{3} \mathrm{~N}
(I) 489 N
(J) 978 N

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi informado):
  • Comprimento da corda: L=1{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Densidade linear da corda: \mu=4{,}7\\ \mathrm{g/m}.
  • A corda vibra em seu 3^{\circ} harmônico (ou seja, modo com número de harmônico n=3).
  • Frequência do 3^{\circ} harmônico: f_n=340\\ \mathrm{Hz}.
O que o problema pede:
  • Determinar a tensão na corda T e, em seguida, identificar a opção correta entre as dadas.

Passo 2

Entender a relação entre frequência do n-ésimo harmônico, velocidade da onda na corda e o comprimento.
A ideia física (passo a passo, sem pular etapas): uma corda fixa nas duas extremidades suporta modos estacionários. Para o n-ésimo harmônico a condição de comprimento é que caibam n/2 comprimentos de onda ao longo da corda; isso leva à fórmula que relaciona frequência, velocidade e comprimento:
f_n=\frac{n\,v}{2L},
onde:
  • f_n é a frequência do n-ésimo harmônico (aqui f_n=340\\ \mathrm{Hz}),
  • n é o número do harmônico (aqui n=3),
  • v é a velocidade de propagação da onda na corda (m/s),
  • L é o comprimento da corda (m).
Essa fórmula vem de escrever \lambda=\dfrac{2L}{n} (comprimento de onda compatível com n nós/ventres) e usar v=f\lambda. Não precisa decorar o derivado inteiro na prova: lembre-se de que para corda fixa em duas extremidades os harmônicos têm comprimentos de onda \lambda_k = 2L/k e f_k = v/\lambda_k.
Agora isolamos v para poder usar com a tensão:
v=\frac{2L f_n}{n}.

Passo 3

Converter a densidade linear para unidades do SI e calcular v.
Primeiro, converter \mu de gramas por metro para quilogramas por metro:
\mu = 4{,}7\\ \mathrm{g/m} = 4{,}7\times 10^{-3}\\ \mathrm{kg/m} = 0{,}0047\\ \mathrm{kg/m}.
Agora calcular v usando L=1{,}5\\ \mathrm{m}, f_n=340\\ \mathrm{Hz} e n=3:
v=\frac{2L f_n}{n}=\frac{2\cdot 1{,}5\cdot 340}{3}.
Fazendo as contas com calma:
2\cdot 1{,}5=3{,}0,
3{,}0\cdot 340=1020,
\frac{1020}{3}=340.
Portanto
v=340\\ \mathrm{m/s}.
(Que coincidência simpática: a velocidade deu exatamente 340\\ \mathrm{m/s}.)

Passo 4

Relacionar velocidade da onda com a tensão na corda.
Para uma corda tensa homogênea a velocidade de propagação da onda é dada por
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde:
  • T é a tensão na corda (N),
  • \mu é a densidade linear (kg/m),
  • v é a velocidade (m/s).
Essa fórmula vem da análise das pequenas oscilações transversais de uma corda e mostra que quanto maior a tensão mais rápida é a onda; quanto maior a massa por metro mais lenta é a onda.
Isolando T:
T=\mu\,v^{2}.

Passo 5

Calcular numericamente a tensão T usando \mu=0{,}0047\\ \mathrm{kg/m} e v=340\\ \mathrm{m/s}.
Primeiro calcular v^{2}:
v^{2}=340^{2}=340\cdot 340=115600.
Agora multiplicar por \mu:
T=\mu v^{2}=0{,}0047\cdot 115600.
Calculando com detalhes:
115600\cdot 0{,}0047 = 115600\cdot\frac{47}{10000}=\frac{115600\cdot 47}{10000}.
Calcular 115600\cdot 47:
115600\cdot 50=5\,780\,000,
115600\cdot 3=346\,800,
5\,780\,000-346\,800=5\,433\,200.
Dividindo por 10000:
T=\frac{5\,433\,200}{10000}=543{,}32\\ \mathrm{N}.
Arredondando de forma apropriada para comparar com as alternativas (que têm valores inteiros), temos T\approx 543\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Verificação e identificação da alternativa: o valor obtido T\approx 543{,}32\\ \mathrm{N} coincide com a alternativa (C) 543\\ \mathrm{N}. Portanto essa é a resposta correta.

Resposta

(C) 543\\ \mathrm{N}