Questão 3: Uma corda de comprimento 1,5 m e densidade linear
vibra em seu
harmônico com frequênci de 340 Hz . Determine a tensão na corda.
(A) 869 N
(B) 761 N
(C) 543 N
(D) 652 N
(E) 163 N
(F) 435 N
(G) 272 N
(H)
(I) 489 N
(J) 978 N
(A) 869 N
(B) 761 N
(C) 543 N
(D) 652 N
(E) 163 N
(F) 435 N
(G) 272 N
(H)
(I) 489 N
(J) 978 N
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi informado):
- Comprimento da corda:
. - Densidade linear da corda:
. - A corda vibra em seu
harmônico (ou seja, modo com número de harmônico ). - Frequência do
harmônico: .
O que o problema pede:
- Determinar a tensão na corda
e, em seguida, identificar a opção correta entre as dadas.
Passo 2
Entender a relação entre frequência do
-ésimo harmônico, velocidade da onda na corda e o comprimento.
A ideia física (passo a passo, sem pular etapas): uma corda fixa nas duas extremidades suporta modos estacionários. Para o
-ésimo harmônico a condição de comprimento é que caibam
comprimentos de onda ao longo da corda; isso leva à fórmula que relaciona frequência, velocidade e comprimento:
onde:
-
é a frequência do -ésimo harmônico (aqui ), -
é o número do harmônico (aqui ), -
é a velocidade de propagação da onda na corda (m/s), -
é o comprimento da corda (m).
Essa fórmula vem de escrever
(comprimento de onda compatível com
nós/ventres) e usar
. Não precisa decorar o derivado inteiro na prova: lembre-se de que para corda fixa em duas extremidades os harmônicos têm comprimentos de onda
e
.
Agora isolamos
para poder usar com a tensão:
Passo 3
Converter a densidade linear para unidades do SI e calcular
.
Primeiro, converter
de gramas por metro para quilogramas por metro:
Agora calcular
usando
,
e
:
Fazendo as contas com calma:
Portanto
(Que coincidência simpática: a velocidade deu exatamente
.)
Passo 4
Relacionar velocidade da onda com a tensão na corda.
Para uma corda tensa homogênea a velocidade de propagação da onda é dada por
onde:
-
é a tensão na corda (N), -
é a densidade linear (kg/m), -
é a velocidade (m/s).
Essa fórmula vem da análise das pequenas oscilações transversais de uma corda e mostra que quanto maior a tensão mais rápida é a onda; quanto maior a massa por metro mais lenta é a onda.
Isolando
:
Passo 5
Calcular numericamente a tensão
usando
e
.
Primeiro calcular
:
Agora multiplicar por
:
Calculando com detalhes:
Calcular
:
Dividindo por
:
Arredondando de forma apropriada para comparar com as alternativas (que têm valores inteiros), temos
.
Passo 6
Verificação e identificação da alternativa: o valor obtido
coincide com a alternativa (C)
. Portanto essa é a resposta correta.
Resposta
(C)