1^a Questão: Dado o anel A, determine as raízes em A dos seguintes polinômios p(x) in A[x].
(b) p(x) = x^2 - 2x + 2 in C[x].

Passo 1

Vamos resolver a questão que pede para encontrar as raízes do polinômio no anel dos números complexos, ou seja, em . Para isso, vamos precisar usar a teoria dos polinômios e a fórmula de Bhaskara para encontrar as soluções dessa equação quadrática.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que as raízes de um polinômio são os valores de que fazem com que o polinômio seja igual a zero. No caso de , queremos encontrar os valores de que satisfazem .

Passo 3

Para resolver a equação quadrática , vamos utilizar a fórmula de Bhaskara, que é dada por:
Aqui, os coeficientes são:
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
  • (termo constante)

Passo 4

Vamos calcular o discriminante :
Como o discriminante é negativo ( ), sabemos que as raízes serão números complexos.

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara com :
Sabemos que , onde é a unidade imaginária ( ).

Passo 6

Substituindo na expressão, temos:
Portanto, as raízes do polinômio são e .

Resposta

As raízes do polinômio em são e .

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