Questão
: Determinar a fugacidade
e o coeficiente de fugacidade
do etano
Passo 1
O enunciado pede que se determine a fugacidade
e o coeficiente de fugacidade
do etano.
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma (não foi dado temperatura , nem pressão
, nem equação de estado nem tabelas).
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma (não foi dado temperatura
O que isto implica: sem especificar o estado termodinâmico (
e
) e sem indicar um modelo (por ex. usar aproximação de gás ideal, equação de virial com coeficiente
, ou uma equação cúbica como Peng–Robinson), não é possível fornecer valores numéricos para
e
.
Portanto, a resolução a seguir vai:
- Explicar o que são
e . - Apresentar as fórmulas gerais que permitem calcular
e . - Mostrar procedimentos passo a passo (métodos práticos) que se usam na prova: (a) aproximação ideal, (b) via equação de virial truncada, (c) via equação cúbica (Peng–Robinson), incluindo todas as fórmulas necessárias e como obter os parâmetros para o etano.
No final eu explico o que é necessário para obter um número e como proceder em prova quando lhe dereme .
Passo 2
Definição básica e relação fundamental entre fugacidade e pressão.
- Fugacidade: a fugacidade
é uma pressão efetiva que representa o “comportamento real” de uma substância pura; é definida de forma que a expressão da energia química (potencial químico) do fluido real possa ser escrita como a do gás ideal substituindo por . - Coeficiente de fugacidade:
é definido por
Aqui
é a pressão do sistema na condição de interesse. Para gás ideal
e
.
Relação thermodinâmica útil (energia livre residual): o coeficiente de fugacidade está ligado à energia livre residual
por
onde
é a constante dos gases (
),
é temperatura absoluta e
é a diferença entre a energia livre molar real e a ideal. Outra forma prática, útil em cálculo, é a integral
onde
é o fator de compressibilidade
. Esta integral parte do limite
(onde a substância se comporta como gás ideal), e por isso é conveniente para calcular
a partir de um modelo que nos dê
como função de
e
.
Explicando as variáveis:
-
: fugacidade (unidade de pressão, ex.: Pa ou bar). -
: coeficiente de fugacidade (adimensional). -
: pressão (Pa ou bar, consistente no uso). -
: fator de compressibilidade adimensional. -
: constante dos gases. -
: temperatura (K).
Passo 3
Método 1 — Aproximação de gás ideal (caso simples, usado em provas para check rápido).
- Se o enunciado disser “gasoso ideal” ou se estiver em condição de baixa pressão onde comportamento ideal é aceitável, então
Comentário prático: essa é a resposta imediata quando o exercício indica “ideal” ou quando
é suficientemente pequeno (comparado a
). Para etano, a precisão dessa aproximação depende de
e
— a prova normalmente diz quando aceitá-la.
Passo 4
Método 2 — Equação de virial (truncada) — quando se tem o coeficiente de segunda virial
.
- A equação de estado na forma virial truncada até o segundo termo é
onde
é o segundo coeficiente virial (função só da temperatura).
- Inserindo isso na integral para
:
ou seja, para baixas pressões (e usando apenas
),
Explicação das etapas:
- Assume-se
conhecido (vem de tabela ou de uma correlação empírica para etano). - Usa-se
aproximado e integra-se facilmente porque independe de . - Resultado válido para pressões não muito altas (quando termos superiores da série virial são desprezíveis).
O que é necessário na prática para o etano usando este método:
- T (para obter
em tabelas ou pela correlação). - P (para avaliar
com a fórmula acima).
Se em prova derou uma tabela, aplique diretamente.
Passo 5
Método 3 — Equação cúbica (ex.: Peng–Robinson) — método padrão na engenharia para pressões mais altas. Vou descrever passo a passo como usar a Peng–Robinson (PR), que é frequentemente pedida em provas.
- Parâmetros críticos e fator acêntrico do etano (valores tabulados; em prova podem ser fornecidos ou pedir para usar tabela):
(Usar as unidades consistentes; em PR normalmente
em Pa ou Pa→MPa, contanto que seja consistente com
.)
- Fórmulas da Peng–Robinson (parâmetros
e e função ):
- Definir os parâmetros adimensionais
e usados na forma reduzida:
-
Determinar o fator de compressibilidade
: resolver a equação cúbica em associada à Peng–Robinson (ou equivalente) — em provas às vezes pedem apenas o uso da raiz física (vapor ou líquido) fornecendo ; caso contrário, resolve-se numericamente ou analiticamente a cúbica. -
Expressão para
na Peng–Robinson (para componente puro):
Esta fórmula dá o coeficiente de fugacidade adimensional uma vez que se tenha
,
e
. Em seguida:
Resumo operacional (passo a passo que se faz na prova quando der
e
e pedirem
do etano):
- Passo a: pegar
do etano (tabela). - Passo b: calcular
e . - Passo c: calcular
e . - Passo d: calcular
e usando a pressão do estado dado. - Passo e: resolver a cúbica para
(escolher a raiz física: vapor → maior ; líquido → menor ). - Passo f: aplicar a expressão de
acima. - Passo g: obter
e finalmente .
Passo 6
Observações finais, dicas de prova e comparação entre métodos:
- Se o enunciado não fornece
e mas pede apenas a expressão, apresente as fórmulas gerais (como fiz acima) e explique o método escolhido (virial para baixa pressão; PR para pressão moderada/alta). Isso geralmente vale na prova. - Se der
e e também fornecer , use a fórmula virial porque é rápida: . - Se der
e em faixa próxima ou acima de uma fração de , use PR (ou outra equação cúbica) para ter precisão. - Sempre verifique unidades (usar
em Pa e em J·mol{-1}·K{-1} ou P em bar e adaptar em bar·L·mol{-1}·K{-1} etc.). - Para etano, os valores de
que dei em Passo 5 são dados típicos de tabela; se a prova fornecer outros dados, use os que o enunciado der.
Resposta
Não é possível fornecer valores numéricos de
e
sem a temperatura
e a pressão
(ou sem dados adicionais). As expressões gerais e práticas são:
Relação exata via integral:
Aproximação virial (segundo coeficiente
):
Forma usando Peng–Robinson (procedimento padrão para pressões moderadas/altas):
onde
é a raiz apropriada da equação cúbica em
. Depois
e
.
(Dados típicos do etano para usar nas fórmulas:
,
,
.)