Questão 9: Determine, caso existam, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x}-x^{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite:
\lim_{x\to -\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x}-x^{4}\right).
Informações dadas:
  • A expressão depende apenas da variável real x.
  • O limite é tomado quando x tende para -\infty (ou seja, x assume valores negativos com módulo crescendo sem limite).
    A pergunta específica é: qual é o valor (finito ou infinito) de \lim_{x\to -\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x}-x^{4}\right)?

Passo 2

Intuição e comparação de ordens de grandeza (isso ajuda muito na prova).
  • Para x com grande módulo, \sqrt{x^{2}+x} tem ordem de grandeza parecida com |x| (porque \sqrt{x^{2}+x}=\sqrt{x^{2}\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr)}=|x|\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}).
  • x^{4} tem ordem de grandeza muito maior: é um polinômio de grau 4, cresce muito mais rápido que uma função linear em |x|.
    Logo, heurísticamente, para x\to-\infty a parcela -x^{4} deve dominar e o resultado deve tender a -\infty. Agora vamos tornar isso rigoroso.

Passo 3

Transformação algébrica útil: fatorar x^{4} para comparar as duas parcelas. Escrevemos
\sqrt{x^{2}+x}-x^{4}=x^{4}\!\left(\frac{\sqrt{x^{2}+x}}{x^{4}}-1\right).
Vamos estudar o termo dentro dos parênteses. Primeiro mostramos que a fração que aparece tende a 0 quando x\to-\infty.

Passo 4

Cálculo do limite da fração. Para x real qualquer, usando \sqrt{x^{2}+x}=|x|\sqrt{1+\tfrac{1}{x}} e x^{4}=|x|^{4}, temos
\left|\frac{\sqrt{x^{2}+x}}{x^{4}}\right| =\frac{\sqrt{x^{2}+x}}{|x|^{4}} =\frac{|x|\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}}{|x|^{4}} =\frac{1}{|x|^{3}}\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}.
Quando x\to-\infty tem-se |x|\to+\infty e \sqrt{1+\tfrac{1}{x}}\to 1. Portanto
\lim_{x\to -\infty}\left|\frac{\sqrt{x^{2}+x}}{x^{4}}\right|=0,
o que implica
\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+x}}{x^{4}}=0.

Passo 5

Voltando à expressão fatorada:
\sqrt{x^{2}+x}-x^{4}=x^{4}\!\left(\frac{\sqrt{x^{2}+x}}{x^{4}}-1\right).
Pelo resultado do Passo 4, o fator dentro dos parênteses tende a 0-1=-1 quando x\to-\infty. Além disso, x^{4}\to+\infty quando x\to-\infty (pois x^{4} é sempre não-negativo e cresce sem limite em módulo). Assim temos o produto de um número que tende para +\infty por outro que tende para -1, portanto o produto tende para -\infty.

Passo 6

Interpretação final: a parcela -x^{4} domina o comportamento da expressão porque cresce (em módulo) muito mais rápido que \sqrt{x^{2}+x}. O termo resultante diverge para -\infty.

Resposta

-\infty