O limite é tomado quando x tende para -\infty (ou seja, x assume valores negativos com módulo crescendo sem limite).
A pergunta específica é: qual é o valor (finito ou infinito) de \lim_{x\to -\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x}-x^{4}\right)?
Passo 2
Intuição e comparação de ordens de grandeza (isso ajuda muito na prova).
Para x com grande módulo, \sqrt{x^{2}+x} tem ordem de grandeza parecida com |x| (porque \sqrt{x^{2}+x}=\sqrt{x^{2}\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr)}=|x|\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}).
Já x^{4} tem ordem de grandeza muito maior: é um polinômio de grau 4, cresce muito mais rápido que uma função linear em |x|.
Logo, heurísticamente, para x\to-\infty a parcela -x^{4} deve dominar e o resultado deve tender a -\infty. Agora vamos tornar isso rigoroso.
Passo 3
Transformação algébrica útil: fatorar x^{4} para comparar as duas parcelas. Escrevemos
Pelo resultado do Passo 4, o fator dentro dos parênteses tende a 0-1=-1 quando x\to-\infty. Além disso, x^{4}\to+\infty quando x\to-\infty (pois x^{4} é sempre não-negativo e cresce sem limite em módulo). Assim temos o produto de um número que tende para +\infty por outro que tende para -1, portanto o produto tende para -\infty.
Passo 6
Interpretação final: a parcela -x^{4} domina o comportamento da expressão porque cresce (em módulo) muito mais rápido que \sqrt{x^{2}+x}. O termo resultante diverge para -\infty.