Questão 3: Determine o domínio, a imagem e esboçe o gráfico das funções abaixo.
f(x)=x^{2}+16

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{2}+16
e pede três coisas:
  1. Determinar o domínio da função.
  2. Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de f(x)).
  3. Esboçar o gráfico da função.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é um polinômio quadrático com termo quadrático x^{2} e termo constante 16.
  • Não há outros dados (como restrições) no enunciado.

Passo 2

Determinar o domínio.
Explicação didática: polinômios são definidos para todo número real — não têm divisão por zero, raiz de índice par de expressão negativa, logaritmo, etc. Portanto não há restrição em x.
Conclusão:
\text{Domínio} = (-\infty,\infty).í

Passo 3

Determinar onde a função atinge extremos (para achar a imagem).
Método 1 (derivada, jeito rápido): calcule a derivada
f'(x)=2x.
Igualando a zero para encontrar pontos críticos:
2x=0\implies x=0.
A segunda derivada é
f''(x)=2>0,
portanto em x=0 temos um mínimo local (e como o polinômio é quadrático, é o mínimo global).
Avalie a função no ponto crítico:
f(0)=0^{2}+16=16.
Método 2 (completar o quadrado, interpretação): escrevendo
f(x)=x^{2}+16=(x-0)^{2}+16,
vemos que (x-0)^{2}\ge 0 para todo x, logo o menor valor possível para f(x) é 16, atingido quando (x-0)^{2}=0, ou seja, x=0.
Portanto a imagem (conjunto de valores de f) é
\text{Imagem} = [16,\infty).

Passo 4

Pontos importantes e interceptos (úteis para esboçar o gráfico):
  • Vértice: (0,16). (Explicação: é o ponto de mínimo encontrado anteriormente.)
  • Eixo de simetria: x=0 (a parábola é simétrica em relação ao eixo y).
  • Intercepto com o eixo y: f(0)=16, portanto (0,16).
  • Interceptos com o eixo x: resolvendo x^{2}+16=0 x^{2}=-16, sem solução real; logo não há raízes reais nem pontos de interseção com o eixo x.
  • Alguns pontos para desenhar: (1,17), (-1,17), (2,20), (-2,20). Esses pontos são fáceis de calcular e mostram a abertura para cima.

Passo 5

Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova):
  1. Desenhe os eixos x e y. Marque uma escala no eixo y que mostre o valor 16 (por exemplo, cada marcação valendo 4 unidades no eixo y pode ajudar a acomodar o vértice).
  2. Marque o vértice em (0,16). Trace a linha vertical x=0 como eixo de simetria (linha tracejada se quiser).
  3. Marque os pontos (1,17), (-1,17), (2,20), (-2,20). Eles ficam acima do vértice e simétricos em relação ao eixo y.
  4. Desenhe uma curva suave em forma de U passando pelo vértice e por esses pontos, abrindo para cima. Não haverá interseção com o eixo x.
    Dica prática: escreva ao lado do vértice “mínimo = 16” para recordar a imagem.

Passo 6

Recapitulando de forma bem cabeça-fria: a função é uma parábola com vértice em (0,16), abre para cima, definida para todo x e com valores a partir de 16. Você pode desenhar rápido marcando o vértice e dois pares de pontos simétricos para obter o esboço correto. Força aí — é uma questão direta e visual!

Resposta

Domínio: (-\infty,\infty)
Imagem: [16,\infty)
Gráfico: parábola com vértice em (0,16), eixo de simetria x=0, abre para cima; sem interceptos reais com o eixo x e y-intercept em (0,16).