Questão 3: Determine o domínio, a imagem e esboçe o gráfico das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- Determinar o domínio da função.
- Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de
). - Esboçar o gráfico da função.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é um polinômio quadrático com termo quadrático
e termo constante . - Não há outros dados (como restrições) no enunciado.
Passo 2
Determinar o domínio.
Explicação didática: polinômios são definidos para todo número real — não têm divisão por zero, raiz de índice par de expressão negativa, logaritmo, etc. Portanto não há restrição em .
Conclusão:
Explicação didática: polinômios são definidos para todo número real — não têm divisão por zero, raiz de índice par de expressão negativa, logaritmo, etc. Portanto não há restrição em
Conclusão:
Passo 3
Determinar onde a função atinge extremos (para achar a imagem).
Método 1 (derivada, jeito rápido): calcule a derivada
Método 1 (derivada, jeito rápido): calcule a derivada
Igualando a zero para encontrar pontos críticos:
A segunda derivada é
portanto em
temos um mínimo local (e como o polinômio é quadrático, é o mínimo global).
Avalie a função no ponto crítico:
Método 2 (completar o quadrado, interpretação): escrevendo
vemos que
para todo
, logo o menor valor possível para
é
, atingido quando
, ou seja,
.
Portanto a imagem (conjunto de valores de
) é
Passo 4
Pontos importantes e interceptos (úteis para esboçar o gráfico):
- Vértice:
. (Explicação: é o ponto de mínimo encontrado anteriormente.) - Eixo de simetria:
(a parábola é simétrica em relação ao eixo ). - Intercepto com o eixo
: , portanto . - Interceptos com o eixo
: resolvendo dá , sem solução real; logo não há raízes reais nem pontos de interseção com o eixo . - Alguns pontos para desenhar:
, , , . Esses pontos são fáceis de calcular e mostram a abertura para cima.
Passo 5
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova):
- Desenhe os eixos
e . Marque uma escala no eixo que mostre o valor (por exemplo, cada marcação valendo unidades no eixo pode ajudar a acomodar o vértice). - Marque o vértice em
. Trace a linha vertical como eixo de simetria (linha tracejada se quiser). - Marque os pontos
, , , . Eles ficam acima do vértice e simétricos em relação ao eixo . - Desenhe uma curva suave em forma de U passando pelo vértice e por esses pontos, abrindo para cima. Não haverá interseção com o eixo
.
Dica prática: escreva ao lado do vértice “mínimo = 16” para recordar a imagem.
Passo 6
Recapitulando de forma bem cabeça-fria: a função é uma parábola com vértice em
, abre para cima, definida para todo
e com valores a partir de
. Você pode desenhar rápido marcando o vértice e dois pares de pontos simétricos para obter o esboço correto. Força aí — é uma questão direta e visual!
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: parábola com vértice em , eixo de simetria
, abre para cima; sem interceptos reais com o eixo
e y-intercept em
.
Imagem:
Gráfico: parábola com vértice em