Questão 4: Determine os pontos onde a função F: U \subseteq \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} é contínua, onde F(x, y)=e^{\left(x^{2}+y^{2}\right)}+\left|\cos \frac{x+y}{x^{2}+1}\right|+\frac{e^{x y} \sin (x+y)}{1+e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os pontos onde a função F é contínua. A função dada é
As variáveis são x e y, com (x,y)\in\mathbb{R}^{2} (o enunciado indica U\subseteq\mathbb{R}^2, então devemos verificar o domínio natural da expressão).
Há três termos somados: e^{(x^{2}+y^{2})}, \left|\cos\frac{x+y}{x^{2}+1}\right| e \dfrac{e^{xy}\sin(x+y)}{1+e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}.
Precisamos verificar se cada termo está bem definido (ou seja, sem divisões por zero ou expressões inválidas) e se é contínuo; então usar o fato de que soma/composição/razão (quando denominador não nulo) de funções contínuas é contínua.
Passo 2
Lembrete prático sobre continuidade que vamos usar (aula rápida e direta):
Uma função elementar como polinômio em (x,y) é contínua em todo \mathbb{R}^2.
Funções elementares de uma variável contínuas (por exemplo e^t, \sin t, \cos t, |t|, \sqrt{t} para t\ge0) são contínuas onde estão definidas.
Se g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é contínua e h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua, então a composição h\circ g é contínua.
Se u e v são funções contínuas em um ponto e v não é zero nesse ponto, então u/v é contínua nesse ponto.
A soma e o produto de funções contínuas são contínuos.
Vamos aplicar essas ideias a cada termo de F.
Passo 3
Analisar o primeiro termo: \displaystyle e^{\left(x^{2}+y^{2}\right)}.
A função p(x,y)=x^{2}+y^{2} é um polinômio em x,y, logo contínua em todo \mathbb{R}^{2}.
A função exponencial t\mapsto e^{t} é contínua em toda \mathbb{R}.
Portanto, por composição, \displaystyle (x,y)\mapsto e^{x^{2}+y^{2}} é contínua em todo \mathbb{R}^{2}.
Passo 4
Analisar o segundo termo: \displaystyle \left|\cos\frac{x+y}{x^{2}+1}\right|.
Primeiro observe o denominador x^{2}+1. Para todo x\in\mathbb{R} vale x^{2}+1\ge1>0. Logo não há divisão por zero: a expressão \dfrac{x+y}{x^{2}+1} está bem definida para todos (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
A função (x,y)\mapsto x+y é contínua (soma de coordenadas).
A função x\mapsto x^{2}+1 é contínua e nunca nula, então (x,y)\mapsto\dfrac{x+y}{x^{2}+1} é contínua em todo \mathbb{R}^{2} (divisão de contínuas com denominador não nulo).
A função t\mapsto \cos t é contínua para todo t\in\mathbb{R}; composta com a função anterior, \cos\!\big(\tfrac{x+y}{x^{2}+1}\big) é contínua em todo \mathbb{R}^2.
A função absoluta t\mapsto |t| é contínua em todo \mathbb{R}. Logo a composição (x,y)\mapsto \left|\cos\frac{x+y}{x^{2}+1}\right| é contínua em todo \mathbb{R}^2.
Passo 5
Analisar o terceiro termo: \displaystyle \frac{e^{xy}\sin(x+y)}{1+e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}.
Vamos tratar numerador e denominador separadamente.
Numerador: e^{xy}\sin(x+y).
A função (x,y)\mapsto xy é um polinômio, logo contínua; t\mapsto e^{t} é contínua, então (x,y)\mapsto e^{xy} é contínua.
A função (x,y)\mapsto x+y é contínua; t\mapsto\sin t é contínua, então (x,y)\mapsto \sin(x+y) é contínua.
Produto de contínuas é contínuo, logo e^{xy}\sin(x+y) é contínuo em todo \mathbb{R}^2.
Denominador: 1+e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
A função (x,y)\mapsto x^{2}+y^{2} é contínua e não negativa; a raiz quadrada t\mapsto\sqrt{t} é contínua para t\ge0. Logo (x,y)\mapsto \sqrt{x^{2}+y^{2}} é contínua.
Exponencial t\mapsto e^{t} é contínua, portanto (x,y)\mapsto e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} é contínua.
Soma com 1 mantém continuidade: 1+e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} é contínua.
Além disso, para todo (x,y) tem \sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge0 e portanto e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\ge e^{0}=1. Assim1+e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\ge 1+1=2>0,ou seja, o denominador nunca é zero (é sempre maior ou igual a 2). Isso garante que a razão está bem definida em todo \mathbb{R}^2.
Por fim, razão de funções contínuas com denominador não nulo é contínua, logo \displaystyle (x,y)\mapsto\frac{e^{xy}\sin(x+y)}{1+e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}} é contínua em todo \mathbb{R}^2.
Passo 6
Juntando tudo:
Os três termos que formam F(x,y) são contínuos em todo \mathbb{R}^2.
A soma de funções contínuas é contínua.
Logo F é contínua em todo \mathbb{R}^2. Em outras palavras, o domínio natural da expressão é todo \mathbb{R}^2 e não há pontos de descontinuidade.