Questão 1-
Dois caminhões estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindo a direção leste a uma velocidade de
e o outro seguindo a direção sul a uma velocidade de
.
a. Determinar a taxa segundo a qual os caminhões se aproximam um do outro num instante em que o primeiro está a 200 m do cruzamento e o segundo está a
.
b. A partir do resultado obtido no item a converter a taxa para milhas por hora (mph).
Dado:
a. Determinar a taxa segundo a qual os caminhões se aproximam um do outro num instante em que o primeiro está a 200 m do cruzamento e o segundo está a
b. A partir do resultado obtido no item a converter a taxa para milhas por hora (mph).
Passo 1
O enunciado faz duas perguntas:
a. Determinar a taxa segundo a qual os caminhões se aproximam um do outro num instante em que o primeiro está a m do cruzamento e o segundo está a
.
b. Converter a taxa do item (a) para milhas por hora (mph) usando o fator fornecido.
a. Determinar a taxa segundo a qual os caminhões se aproximam um do outro num instante em que o primeiro está a
b. Converter a taxa do item (a) para milhas por hora (mph) usando o fator fornecido.
Informações relevantes dadas no enunciado:
Velocidade do caminhão que vai na direção leste:
.
Velocidade do caminhão que vai na direção sul:
.
Distância do primeiro caminhão ao cruzamento no instante considerado:
m (isto é,
). Eu converti
m para
.
Distância do segundo caminhão ao cruzamento no instante considerado:
(dado).
Fator de conversão:
(dado).
Passo 2
Definimos variáveis para organizar o problema (isso facilita montar a relação geométrica):
Seja
a distância, em
, do caminhão que vem do leste até o cruzamento no tempo
.
Seja
a distância, em
, do caminhão que vem do norte (seguindo para sul) até o cruzamento no tempo
.
Seja
a distância, em
, entre os dois caminhões no tempo
.
Pela geometria (triângulo retângulo com catetos
e
), vale:
Explicação curta: essa é a fórmula de Pitágoras: a distância entre os caminhões é a hipotenusa do triângulo formado pelas distâncias desde cada caminhão até o cruzamento.
Passo 3
Queremos a taxa de variação de
no tempo, ou seja
. Para isso diferenciamos implicitamente em relação a
a igualdade
.
Ao diferenciar ambos os lados em relação a
obtemos:
Explicando a técnica: ao derivar uma função composta como
usamos a regra da cadeia:
. O mesmo vale para
e
.
Isolando
:
Passo 4
Agora vamos colocar os valores e sinais corretos para
e
. Os caminhões estão se aproximando do cruzamento, então as distâncias
e
estão diminuindo: isso significa que as derivadas temporais são negativas.
No instante dado temos
(convertido de
m) e
(dado).
Passo 5
Calculamos
no instante usando Pitágoras:
Comentário: ficou bem redondinho — distância entre os caminhões é
(isto é,
m).
Passo 6
Agora substituímos tudo na fórmula da derivada:
Calculemos o numerador:
Agora dividimos por
:
Interpretação do sinal:
significa que a distância entre os caminhões está diminuindo à taxa de
(o sinal negativo indica diminuição).
Passo 7
Converter a taxa para milhas por hora usando o fator dado
.
Multiplicando:
Cálculo numérico:
Arredondando para duas casas decimais (prático para velocidade):
Significado: a distância entre os caminhões está diminuindo a uma taxa de aproximadamente
.