Questão 1- (2,0) Dois caminhões estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindo a direção leste a uma velocidade de 90 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e o outro seguindo a direção sul a uma velocidade de 60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}.
a. Determinar a taxa segundo a qual os caminhões se aproximam um do outro num instante em que o primeiro está a 200 m do cruzamento e o segundo está a 0,15 \mathrm{~km}.
b. A partir do resultado obtido no item a converter a taxa para milhas por hora (mph).
Dado: 1 \mathrm{~km} / \mathrm{h}=0,621371 \mathrm{mph}

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas:
a. Determinar a taxa segundo a qual os caminhões se aproximam um do outro num instante em que o primeiro está a 200 m do cruzamento e o segundo está a 0,15\\ \mathrm{km}.
b. Converter a taxa do item (a) para milhas por hora (mph) usando o fator fornecido.
Informações relevantes dadas no enunciado:
\quad Velocidade do caminhão que vai na direção leste: 90\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
\quad Velocidade do caminhão que vai na direção sul: 60\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
\quad Distância do primeiro caminhão ao cruzamento no instante considerado: 200 m (isto é, 0,2\\ \mathrm{km}). Eu converti 200 m para \,0,2\\ \mathrm{km}.
\quad Distância do segundo caminhão ao cruzamento no instante considerado: 0,15\\ \mathrm{km} (dado).
\quad Fator de conversão: 1\\ \mathrm{km}/\mathrm{h} = 0,621371\\ \mathrm{mph} (dado).

Passo 2

Definimos variáveis para organizar o problema (isso facilita montar a relação geométrica):
\quad Seja x(t) a distância, em \mathrm{km}, do caminhão que vem do leste até o cruzamento no tempo t.
\quad Seja y(t) a distância, em \mathrm{km}, do caminhão que vem do norte (seguindo para sul) até o cruzamento no tempo t.
\quad Seja D(t) a distância, em \mathrm{km}, entre os dois caminhões no tempo t.
Pela geometria (triângulo retângulo com catetos x e y), vale:
D^2 = x^2 + y^2
Explicação curta: essa é a fórmula de Pitágoras: a distância entre os caminhões é a hipotenusa do triângulo formado pelas distâncias desde cada caminhão até o cruzamento.

Passo 3

Queremos a taxa de variação de D no tempo, ou seja \dfrac{dD}{dt}. Para isso diferenciamos implicitamente em relação a t a igualdade \;D^2 = x^2 + y^2\;.
Ao diferenciar ambos os lados em relação a t obtemos:
2D\,\frac{dD}{dt} = 2x\,\frac{dx}{dt} + 2y\,\frac{dy}{dt}
Explicando a técnica: ao derivar uma função composta como D^2(t) usamos a regra da cadeia: \dfrac{d}{dt}[D^2]=2D\cdot \dfrac{dD}{dt}. O mesmo vale para x^2 e y^2.
Isolando \dfrac{dD}{dt}:
\frac{dD}{dt} = \frac{x\,\dfrac{dx}{dt} + y\,\dfrac{dy}{dt}}{D}

Passo 4

Agora vamos colocar os valores e sinais corretos para \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}. Os caminhões estão se aproximando do cruzamento, então as distâncias x e y estão diminuindo: isso significa que as derivadas temporais são negativas.
\quad Velocidade do caminhão leste (em módulo): 90\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}. Como x diminui, \dfrac{dx}{dt} = -90\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
\quad Velocidade do caminhão sul (em módulo): 60\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}. Como y diminui, \dfrac{dy}{dt} = -60\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
No instante dado temos x = 0,2\\ \mathrm{km} (convertido de 200 m) e y = 0,15\\ \mathrm{km} (dado).

Passo 5

Calculamos D no instante usando Pitágoras:
D = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(0,2)^2 + (0,15)^2} = \sqrt{0,04 + 0,0225} = \sqrt{0,0625} = 0,25\\ \mathrm{km}.
Comentário: ficou bem redondinho — distância entre os caminhões é 0,25\\ \mathrm{km} (isto é, 250 m).

Passo 6

Agora substituímos tudo na fórmula da derivada:
\frac{dD}{dt} = \frac{x\,\dfrac{dx}{dt} + y\,\dfrac{dy}{dt}}{D}.
Calculemos o numerador:
x\,\frac{dx}{dt} + y\,\frac{dy}{dt} = 0,2\cdot(-90) + 0,15\cdot(-60) = -18 + (-9) = -27\\ \text{(unidade: }\mathrm{km}^2/\mathrm{h}\text{, que ao dividir por }D\text{ resulta em }\mathrm{km}/\mathrm{h}\text{)}.
Agora dividimos por D=0,25\\ \mathrm{km}:
\frac{dD}{dt} = \frac{-27}{0,25} = -108\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
Interpretação do sinal: \dfrac{dD}{dt}=-108\\ \mathrm{km}/\mathrm{h} significa que a distância entre os caminhões está diminuindo à taxa de 108\\ \mathrm{km}/\mathrm{h} (o sinal negativo indica diminuição).

Passo 7

Converter a taxa para milhas por hora usando o fator dado 1\\ \mathrm{km}/\mathrm{h} = 0,621371\\ \mathrm{mph}.
Multiplicando:
\frac{dD}{dt} = -108\\ \mathrm{km}/\mathrm{h} \times 0,621371\\ \frac{\mathrm{mph}}{\mathrm{km}/\mathrm{h}} = -108 \times 0,621371\\ \mathrm{mph}.
Cálculo numérico:
-108 \times 0,621371 = -67,108068\\ \mathrm{mph}
Arredondando para duas casas decimais (prático para velocidade):
\frac{dD}{dt} \approx -67,11\\ \mathrm{mph}.
Significado: a distância entre os caminhões está diminuindo a uma taxa de aproximadamente 67,11\\ \mathrm{mph}.

Resposta

\dfrac{dD}{dt} = -108\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}
\dfrac{dD}{dt} \approx -67,11\\ \mathrm{mph}

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