Questão 8) Encontre uma formula para cada uma das seguintes integrais:
\int x^{n} \cos ^{m} x d x;

Passo 1

O enunciado pede uma fórmula de redução para
I_{n,m} = \int x^{n}\cos^{m}x\,dx.
Vamos usar integração por partes duas vezes, reduzindo progressivamente as potências de x e de \cos x.

Passo 2

Escolhemos \displaystyle u = x^{n}\cos^{m-1}x
e \displaystyle dv = \cos x\,dx.
Então
du = \bigl(n\,x^{n-1}\cos^{m-1}x - (m-1)\,x^n\cos^{m-2}x\sin x\bigr)\,dx, \quad v = \sin x.
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\int x^{n}\cos^{m}x\,dx = x^{n}\cos^{m-1}x\sin x - \int\bigl[n\,x^{n-1}\cos^{m-1}x - (m-1)\,x^n\cos^{m-2}x\sin x\bigr]\sin x\,dx.

Passo 3

Expandindo o integrando e usando \sin^2x=1-\cos^2x, reorganizamos e isolamos I_{n,m}:
m\,I_{n,m} = x^{n}\cos^{m-1}x\sin x + (m-1)\,I_{n,m-2} - n\int x^{n-1}\cos^{m-1}x\sin x\,dx.

Passo 4

Definimos
J_{n-1,m-1} = \int x^{n-1}\cos^{m-1}x\sin x\,dx
e aplicamos partes com \displaystyle U = x^{n-1}\cos^{m-1}x, \displaystyle dV = \sin x\,dx.
Isso leva a
J_{n-1,m-1} = \frac{n-1}{m}\,I_{n-2,m} - \frac{x^{n-1}\cos^{m}x}{m}.

Passo 5

Substituindo J_{n-1,m-1} na expressão do Passo 3 e resolvendo para I_{n,m}, obtemos a fórmula de redução final.

Resposta

\int x^{n}\cos^{m}x\,dx = \frac{x^{n}\cos^{m-1}x\sin x}{m} + \frac{n\,x^{n-1}\cos^{m}x}{m^{2}} + \frac{m-1}{m}\int x^{n}\cos^{m-2}x\,dx - \frac{n(n-1)}{m^{2}}\int x^{n-2}\cos^{m}x\,dx + C.

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