Questão 7. Encontre os pontos críticos das funções abaixo:
f(x)=\operatorname{sen} x \cos x

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\operatorname{sen} x\cos x e pede: encontrar os pontos críticos dessa função.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A função é f(x)=\operatorname{sen} x\cos x.
  • Domínio natural de f: todos os números reais (ou seja, x\in\mathbb{R}).
  • Um ponto crítico é um ponto x onde a derivada f'(x) é zero ou onde f' não está definida.

Passo 2

O que vamos procurar na prática: calcular f'(x) e resolver f'(x)=0; também checar se existem pontos onde f' não existe. Vou lembrar duas regras básicas que vou usar (explicando bem):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então (u v)' = u'v + u v'. Aqui u(x)=\operatorname{sen} x e v(x)=\cos x.
  • Derivadas trigonométricas fundamentais: (\operatorname{sen} x)'=\cos x e (\cos x)'=-\operatorname{sen} x.

Passo 3

Aplicando a regra do produto passo a passo:
f(x)=\operatorname{sen} x\cos x.
Usando (u v)'=u'v+u v' com u=\operatorname{sen} x, v=\cos x,
f'(x)=(\operatorname{sen} x)'\cos x+\operatorname{sen} x(\cos x)'.
Substituindo as derivadas trigonométricas:
f'(x)=\cos x\cos x+\operatorname{sen} x(-\operatorname{sen} x).
Agora simplifico os termos:
f'(x)=\cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x.

Passo 4

Usando a identidade trigonométrica de ângulo duplo:
\cos 2x=\cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x,
podemos reescrever a derivada de forma mais compacta:
f'(x)=\cos 2x.

Passo 5

Encontrar pontos onde f'(x)=0. Então resolvo
\cos 2x=0.
A solução geral da equação \cos t=0 é t=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, com k\in\mathbb{Z}. Aqui t=2x, logo
2x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Dividindo por 2,
x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Esses são os candidatos a pontos críticos.

Passo 6

Verificar pontos onde f' não existe: como f(x) é produto de \operatorname{sen} x e \cos x, ambas diferenciáveis em todo \mathbb{R}, segue que f' existe para todo x\in\mathbb{R}. Portanto não há pontos críticos por falta de derivada — apenas os obtidos resolvendo f'(x)=0.

Passo 7

Classificação (opcional, mas útil na prova): calculo a segunda derivada para classificar máximo/minimo.
Derivando f'(x)=\cos 2x,
f''(x)=-2\operatorname{sen}2x.
Avalio em x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}. Para esses x temos 2x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi e portanto \operatorname{sen}2x=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right)=(-1)^{k}. Logo
f''\!\left(\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\right)=-2(-1)^{k}.
Se k é par ( k=2m) então f''<0 → ponto de máximo local. Se k é ímpar ( k=2m+1) então f''>0 → ponto de mínimo local. Também é útil notar os valores de f nesses pontos: usando f(x)=\dfrac{1}{2}\operatorname{sen}2x, obtemos f igual a \dfrac{1}{2}(-1)^{k} nesses pontos (valor +\tfrac{1}{2} nos máximos, -\tfrac{1}{2} nos mínimos).

Resposta

x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.
Máximos locais em x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi (valor +\tfrac{1}{2}); mínimos locais em x=\dfrac{3\pi}{4}+k\pi (valor -\tfrac{1}{2}), com k\in\mathbb{Z}.