Questão 7. Encontre os pontos críticos das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: encontrar os pontos críticos dessa função.
Informações relevantes que temos do enunciado:
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A função é
. - Domínio natural de
: todos os números reais (ou seja, ). - Um ponto crítico é um ponto
onde a derivada é zero ou onde não está definida.
Passo 2
O que vamos procurar na prática: calcular
e resolver
; também checar se existem pontos onde
não existe. Vou lembrar duas regras básicas que vou usar (explicando bem):
- Regra do produto: se
e são diferenciáveis, então . Aqui e . - Derivadas trigonométricas fundamentais:
e .
Passo 3
Aplicando a regra do produto passo a passo:
Usando
com
,
,
Substituindo as derivadas trigonométricas:
Agora simplifico os termos:
Passo 4
Usando a identidade trigonométrica de ângulo duplo:
podemos reescrever a derivada de forma mais compacta:
Passo 5
Encontrar pontos onde
. Então resolvo
A solução geral da equação
é
, com
. Aqui
, logo
Dividindo por
,
Esses são os candidatos a pontos críticos.
Passo 6
Verificar pontos onde
não existe: como
é produto de
e
, ambas diferenciáveis em todo
, segue que
existe para todo
. Portanto não há pontos críticos por falta de derivada — apenas os obtidos resolvendo
.
Passo 7
Classificação (opcional, mas útil na prova): calculo a segunda derivada para classificar máximo/minimo.
Derivando ,
Derivando
Avalio em
. Para esses
temos
e portanto
. Logo
Se
é par (
) então
→ ponto de máximo local. Se
é ímpar (
) então
→ ponto de mínimo local. Também é útil notar os valores de
nesses pontos: usando
, obtemos
igual a
nesses pontos (valor
nos máximos,
nos mínimos).
Resposta
Máximos locais em