Questão 3 Para um ensaio de permeabilidade com carga variável, são dados: comprimento da amostra de solo
; área da amostra
. Qual deve ser a área do piezômetro para que a carga caia de 650 cm para 300 cm em 8 minutos?
Passo 1
O enunciado pede: determinar a área do piezômetro necessária para que a carga (nível de água no piezômetro) caia de
para
em
minutos, durante um ensaio de permeabilidade com carga variável. Dados fornecidos:
A incógnita é a área do piezômetro, que chamarei de
.
Passo 2
Vamos modelar o problema com duas ideias físicas bem simples (explicando como usá-las na prova):
- Lei de Darcy (para fluxo através da amostra): a vazão instantânea
que atravessa a amostra é proporcional à condutividade hidráulica , à área da amostra e ao gradiente hidráulico . Aqui o gradiente é a carga dividida pelo comprimento da amostra, isto é . Portanto:
Explicação das variáveis:
é volume por tempo (unidade aqui:
),
é permeabilidade em
,
é área da amostra em
,
é a carga (altura de água) em
,
é comprimento da amostra em
.
- Conservação do volume no piezômetro: a saída de água pela amostra faz o nível do piezômetro baixar. A variação de volume no piezômetro por unidade de tempo é a área do piezômetro vezes a velocidade de variação do nível, ou seja
. O sinal negativo indica que quando (fluxo para fora), diminui ( ).
Essas duas expressões para
serão iguais (mesma vazão), o que nos permite relacionar
com
.
Passo 3
Igualando as expressões para
:
Reorganizando para separar variáveis:
Agora integramos ambos os lados entre as condições iniciais e finais:
de
para
e
de
a
:
A integral do lado esquerdo é
. Portanto:
Passo 4
Isolando
da expressão acima:
Observação importante:
é negativo porque
, então o sinal negativo do numerador cancela e
fica positivo, como esperado. Essa expressão é a fórmula que você deve lembrar para um ensaio de queda de carga (falling head): ela relaciona geometricamente as áreas,
, tempo e variação de carga.
Passo 5
Agora aplicamos os valores numéricos. Primeiro, convertemos
para
:
Substituímos
,
,
,
,
na fórmula:
Calcule passo a passo:
A razão das cargas:
O logaritmo natural:
Multiplicando
pelo logaritmo:
Finalmente:
Arredondando com duas casas decimais (prática comum para áreas pequenas em ensaios):
Passo 6
Significado prático: o piezômetro precisa ter uma área muito pequena (aprox.
) para que a carga caia tão rápido (de
para
em
min) dada a permeabilidade e a geometria da amostra. Na prova, memorize a dedução rápida: igualar
com
, separar variáveis e integrar — isso resolve o problema direto.