Questão 3 Para um ensaio de permeabilidade com carga variável, são dados: comprimento da amostra de solo =380 \mathrm{~mm}; área da amostra =6,5 \mathrm{~cm}^{2}, \mathrm{k}=0,175 \mathrm{~cm} / \mathrm{min}. Qual deve ser a área do piezômetro para que a carga caia de 650 cm para 300 cm em 8 minutos?

Passo 1

O enunciado pede: determinar a área do piezômetro necessária para que a carga (nível de água no piezômetro) caia de 650\\ \mathrm{cm} para 300\\ \mathrm{cm} em 8 minutos, durante um ensaio de permeabilidade com carga variável. Dados fornecidos:
\text{comprimento da amostra } L = 380\\ \mathrm{mm},
\text{área da amostra } A_s = 6,5\\ \mathrm{cm}^2,á
k = 0,175\\ \mathrm{cm/min},
\text{carga inicial } h_0 = 650\\ \mathrm{cm},
\text{carga final } h_t = 300\\ \mathrm{cm},
\text{tempo } t = 8\\ \mathrm{min}.
A incógnita é a área do piezômetro, que chamarei de A_p.

Passo 2

Vamos modelar o problema com duas ideias físicas bem simples (explicando como usá-las na prova):
  1. Lei de Darcy (para fluxo através da amostra): a vazão instantânea Q que atravessa a amostra é proporcional à condutividade hidráulica k, à área da amostra A_s e ao gradiente hidráulico i. Aqui o gradiente é a carga dividida pelo comprimento da amostra, isto é i=\dfrac{h}{L}. Portanto:
Q = k\,A_s\,\frac{h}{L}.
Explicação das variáveis: Q é volume por tempo (unidade aqui: \mathrm{cm}^3/\mathrm{min}), k é permeabilidade em \mathrm{cm/min}, A_s é área da amostra em \mathrm{cm}^2, h é a carga (altura de água) em \mathrm{cm}, L é comprimento da amostra em \mathrm{cm}.
  1. Conservação do volume no piezômetro: a saída de água pela amostra faz o nível do piezômetro baixar. A variação de volume no piezômetro por unidade de tempo é a área do piezômetro vezes a velocidade de variação do nível, ou seja Q = -A_p\,\dfrac{dh}{dt}. O sinal negativo indica que quando Q>0 (fluxo para fora), h diminui ( dh/dt<0).
Essas duas expressões para Q serão iguais (mesma vazão), o que nos permite relacionar dh/dt com h.

Passo 3

Igualando as expressões para Q:
- A_p \frac{dh}{dt} = k\,A_s\,\frac{h}{L}.
Reorganizando para separar variáveis:
\frac{dh}{h} = -\frac{k\,A_s}{L\,A_p}\,dt.
Agora integramos ambos os lados entre as condições iniciais e finais: h de h_0 para h_t e t de 0 a t:
\int_{h_0}^{h_t} \frac{1}{h}\,dh = -\frac{k\,A_s}{L\,A_p}\int_{0}^{t} dt.
A integral do lado esquerdo é \ln\left(\dfrac{h_t}{h_0}\right). Portanto:
\ln\!\left(\frac{h_t}{h_0}\right) = -\frac{k\,A_s}{L\,A_p}\,t.

Passo 4

Isolando A_p da expressão acima:
A_p = -\frac{k\,A_s\,t}{L\,\ln\!\left(\dfrac{h_t}{h_0}\right)}.
Observação importante: \ln\!\left(\dfrac{h_t}{h_0}\right) é negativo porque h_t<h_0, então o sinal negativo do numerador cancela e A_p fica positivo, como esperado. Essa expressão é a fórmula que você deve lembrar para um ensaio de queda de carga (falling head): ela relaciona geometricamente as áreas, k, tempo e variação de carga.

Passo 5

Agora aplicamos os valores numéricos. Primeiro, convertemos L para \mathrm{cm}:
L = 380\\ \mathrm{mm} = 38\\ \mathrm{cm}.
Substituímos k=0{,}175\\ \mathrm{cm/min}, A_s=6{,}5\\ \mathrm{cm}^2, t=8\\ \mathrm{min}, h_0=650\\ \mathrm{cm}, h_t=300\\ \mathrm{cm} na fórmula:
A_p = -\frac{0{,}175 \times 6{,}5 \times 8}{38 \times \ln\!\left(\dfrac{300}{650}\right)}.
Calcule passo a passo:
k\,A_s\,t = 0{,}175 \times 6{,}5 \times 8 = 9{,}1.
A razão das cargas:
\frac{300}{650} = \frac{6}{13}\approx 0{,}461538\ldots
O logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{300}{650}\right)=\ln\!\left(\frac{6}{13}\right)\approx -0{,}773189888.
Multiplicando L pelo logaritmo:
38 \times \ln\!\left(\frac{300}{650}\right) \approx 38 \times (-0{,}773189888) \approx -29{,}3812157.
Finalmente:
A_p = -\frac{9{,}1}{-29{,}3812157} \approx 0{,}3098\\ \mathrm{cm}^2.
Arredondando com duas casas decimais (prática comum para áreas pequenas em ensaios):
A_p \approx 0{,}31\\ \mathrm{cm}^2.

Passo 6

Significado prático: o piezômetro precisa ter uma área muito pequena (aprox. 0{,}31\\ \mathrm{cm}^2) para que a carga caia tão rápido (de 650 para 300\\ \mathrm{cm} em 8 min) dada a permeabilidade e a geometria da amostra. Na prova, memorize a dedução rápida: igualar Q=kA_s(h/L) com Q=-A_p dh/dt, separar variáveis e integrar — isso resolve o problema direto.

Resposta

A_p \approx 0,31\\ \mathrm{cm}^2

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