Questão 1: Esboce a região de integração da integral abaixo, reescreva esta integral mudando a ordem das variáveis de integração e, por fim, calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para trabalharmos com a integral dupla
que envolve as variáveis
e
. Precisamos:
- Esboçar a região de integração no plano
. - Reescrever a integral invertendo a ordem de integração.
- Calcular o valor numérico da integral.
Passo 2
Para esboçar a região, note que as desigualdades são
A reta
intercepta o eixo
em
e o eixo
em
, mas como
a região termina em
. Juntando com a reta
e as linhas
,
, obtemos um trapézio com vértices
,
,
.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, fixamos
primeiro. O mínimo de
é
e o máximo é
. Para cada
entre esses valores,
parte de
até a reta que dá
, ou seja
Logo a integral na ordem
vira
Passo 4
Vamos calcular usando essa forma:
Agora
Multiplicando:
Resposta
A integral com ordem invertida é
e o valor da integral é
.