Questão 1: Esboce a região de integração da integral abaixo, reescreva esta integral mudando a ordem das variáveis de integração e, por fim, calcule a integral.
\int_{0}^{1} \int_{2}^{4-2 x} 3 d y d x

Passo 1

O enunciado pede para trabalharmos com a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{2}^{4-2x}3\,dy\,dx,
que envolve as variáveis x e y. Precisamos:
  1. Esboçar a região de integração no plano xy.
  2. Reescrever a integral invertendo a ordem de integração.
  3. Calcular o valor numérico da integral.

Passo 2

Para esboçar a região, note que as desigualdades são
0 \le x \le 1, \qquad 2 \le y \le 4 - 2x.
A reta y=4-2x intercepta o eixo y em (0,4) e o eixo x em (2,0), mas como x\le1 a região termina em (1,2). Juntando com a reta y=2 e as linhas x=0, x=1, obtemos um trapézio com vértices (0,2), (0,4), (1,2).

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, fixamos y primeiro. O mínimo de y é 2 e o máximo é 4. Para cada y entre esses valores, x parte de 0 até a reta que dá y=4-2x, ou seja
y \le 4-2x \;\Longrightarrow\; x \le \frac{4-y}{2}.
Logo a integral na ordem dy\,dx vira
\int_{y=2}^{4} \int_{x=0}^{\frac{4-y}{2}} 3\,dx\,dy.

Passo 4

Vamos calcular usando essa forma:
\int_{2}^{4}\int_{0}^{\frac{4-y}{2}}3\,dx\,dy = \int_{2}^{4} 3\Bigl[\;x\Bigr]_{0}^{\frac{4-y}{2}} \,dy = \int_{2}^{4} 3\cdot\frac{4-y}{2} \,dy = \frac{3}{2} \int_{2}^{4}(4-y)\,dy.
Agora
\int_{2}^{4}(4-y)\,dy =\Bigl[4y-\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{2}^{4} =(16-8)-(8-2) =8-6=2.
Multiplicando:
\frac{3}{2}\times2=3.

Resposta

A integral com ordem invertida é
\int_{2}^{4}\int_{0}^{\frac{4-y}{2}}3\,dx\,dy
e o valor da integral é 3.