QUESTÃO 9 - Escolha e calcule um (2 se for dupla; 3 se for trio) dentre os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\left(\tan (x)-\operatorname{sen}(x)-\frac{x^{3}}{2}\right)}{x^{5}}\right]

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: calcular o limite
\lim_{x\to 0}\left[\frac{\big(\tan(x)-\operatorname{sen}(x)-\frac{x^{3}}{2}\big)}{x^{5}}\right].
Ou seja, dada a expressão no numerador, queremos saber como ela se comporta quando x tende a 0, depois de dividida por x^{5}. O objetivo é encontrar um número real (o valor do limite).

Passo 2

Escolha do método e por quê (explicação amigável): aqui a melhor estratégia é usar as séries de Maclaurin (expansões em torno de 0) de \sin, \cos e \tan. Essas expansões dão os termos em potências de x; quando dividimos por x^{5} e x\to0, o limite vai ser dado pelo coeficiente do termo em x^{5} do numerador (desde que os termos de ordem menor cancelem). Alternativa possível seria aplicar a regra de L’Hôpital várias vezes, mas isso fica muito trabalhoso. Então vamos usar as séries — é mais direto e seguro aqui.
Breve aula sobre série de Maclaurin: uma função suficientemente suave pode ser escrita como soma de potências de x em torno de 0:
f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+\cdots,
onde os coeficientes são derivados da função em 0. Para funções trigonométricas conhecidas usamos suas expansões padrão.

Passo 3

Expansões conhecidas (até ordem x^{5}, que é tudo o que precisamos):
\sin(x)=x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}+O(x^{7}),
\cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+O(x^{6}).
Aqui O(x^{7}) e O(x^{6}) indicam termos de ordem mais alta que não vão afetar nosso limite. Cada coeficiente vem da derivada da função em 0; por exemplo o termo -\dfrac{x^{3}}{6} vem de \sin^{(3)}(0)/3!.

Passo 4

Obter a expansão de \tan(x) até x^{5}. Uma forma sistemática é escrever
\tan(x)=A x + B x^{3} + C x^{5} + O(x^{7})
e impor \tan(x)\cos(x)=\sin(x). Multiplicando as expansões:
\big(A x + B x^{3} + C x^{5}\big)\big(1-\tfrac{x^{2}}{2}+\tfrac{x^{4}}{24}\big) = A x +\big(B-\tfrac{A}{2}\big)x^{3} +\big(C-\tfrac{B}{2}+\tfrac{A}{24}\big)x^{5}+O(x^{7}).
Isso deve ser igual à expansão de \sin(x):
\sin(x)=x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}+O(x^{7}).
Igualando coeficientes termo a termo:
  • Coeficiente de x: A=1.
  • Coeficiente de x^{3}: B-\dfrac{A}{2}=-\dfrac{1}{6}. Como A=1, temos B-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{6}, logo
B=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{1}{3}.
  • Coeficiente de x^{5}: C-\dfrac{B}{2}+\dfrac{A}{24}=\dfrac{1}{120}. Substituindo A=1 e B=\dfrac{1}{3}:
C-\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=\frac{1}{120}.
Calcule os termos constantes: -\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{24}=-\dfrac{3}{24}=-\dfrac{1}{8}. Assim
C-\frac{1}{8}=\frac{1}{120}\quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{120}+\frac{1}{8}.
Colocando sobre o mesmo denominador 120:
\frac{1}{8}=\frac{15}{120},\quad \frac{1}{120}+\frac{15}{120}=\frac{16}{120}=\frac{2}{15}.
Logo C=\dfrac{2}{15}.
Portanto a expansão necessária é
\tan(x)=x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{15}x^{5}+O(x^{7}).

Passo 5

Agora formamos o numerador usando as expansões:
\tan(x)-\operatorname{sen}(x)-\frac{x^{3}}{2} =\Big(x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{15}x^{5}+O(x^{7})\Big) -\Big(x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}+O(x^{7})\Big) -\frac{x^{3}}{2}.
Agrupando termos iguais:
  • Termos em x: x-x=0.
  • Termos em x^{3}: \dfrac{1}{3} -\big(-\dfrac{1}{6}\big)-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{2}.
    Calcule passo a passo: \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2}. Então \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0. Ou seja, os termos em x^{3} se cancelam exatamente — por isso o autor do exercício subtraiu \dfrac{x^{3}}{2}.
  • Termos em x^{5}: \dfrac{2}{15}-\dfrac{1}{120}. Vamos calcular:
\frac{2}{15}=\frac{16}{120},\qquad \frac{16}{120}-\frac{1}{120}=\frac{15}{120}=\frac{1}{8}.
Portanto o numerador vale
\tan(x)-\operatorname{sen}(x)-\frac{x^{3}}{2}=\frac{1}{8}x^{5}+O(x^{7}).

Passo 6

Dividindo por x^{5} e tomando o limite:
\frac{\tan(x)-\operatorname{sen}(x)-\frac{x^{3}}{2}}{x^{5}}=\frac{1}{8}+O(x^{2}).
Quando x\to 0, os termos O(x^{2}) vão para 0. Logo
\lim_{x\to 0}\left[\frac{\tan(x)-\operatorname{sen}(x)-\frac{x^{3}}{2}}{x^{5}}\right]=\frac{1}{8}.

Resposta

\dfrac{1}{8}