QUESTÃO 9 - Escolha e calcule um (2 se for dupla; 3 se for trio) dentre os seguintes limites:
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: calcular o limite
Ou seja, dada a expressão no numerador, queremos saber como ela se comporta quando
tende a
, depois de dividida por
. O objetivo é encontrar um número real (o valor do limite).
Passo 2
Escolha do método e por quê (explicação amigável): aqui a melhor estratégia é usar as séries de Maclaurin (expansões em torno de
) de
,
e
. Essas expansões dão os termos em potências de
; quando dividimos por
e
, o limite vai ser dado pelo coeficiente do termo em
do numerador (desde que os termos de ordem menor cancelem). Alternativa possível seria aplicar a regra de L’Hôpital várias vezes, mas isso fica muito trabalhoso. Então vamos usar as séries — é mais direto e seguro aqui.
Breve aula sobre série de Maclaurin: uma função suficientemente suave pode ser escrita como soma de potências de
em torno de
:
onde os coeficientes são derivados da função em
. Para funções trigonométricas conhecidas usamos suas expansões padrão.
Passo 3
Expansões conhecidas (até ordem
, que é tudo o que precisamos):
Aqui
e
indicam termos de ordem mais alta que não vão afetar nosso limite. Cada coeficiente vem da derivada da função em
; por exemplo o termo
vem de
.
Passo 4
Obter a expansão de
até
. Uma forma sistemática é escrever
e impor
. Multiplicando as expansões:
Isso deve ser igual à expansão de
:
Igualando coeficientes termo a termo:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . Como , temos , logo
- Coeficiente de
: . Substituindo e :
Calcule os termos constantes:
. Assim
Colocando sobre o mesmo denominador
:
Logo
.
Portanto a expansão necessária é
Passo 5
Agora formamos o numerador usando as expansões:
Agrupando termos iguais:
- Termos em
: . - Termos em
: .
Calcule passo a passo:. Então . Ou seja, os termos em se cancelam exatamente — por isso o autor do exercício subtraiu . - Termos em
: . Vamos calcular:
Portanto o numerador vale
Passo 6
Dividindo por
e tomando o limite:
Quando
, os termos
vão para
. Logo