Questão 5
Uma esfera de raio
e massa
é projetada ao longo de uma superfície plana horizontal com velocidade linear inicial
e velocidade angular inicial
. Após quanto tempo a esfera passará a se mover com velocidade constante? Considere que o coeficiente de atrito no ponto de contato é
e assuma que a gravidade seja
. Observe que
. Dados:
. (2.0 pontos)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
Dados numéricos fornecidos:
-
-
(logo a massa é ) -
-
-
-
- Momento de inércia dado:
-
-
O que o enunciado pergunta:
- Após quanto tempo a esfera passará a se mover com velocidade constante (isto é, quando ela atingir o rolamento sem deslizamento,
)?
- Após quanto tempo a esfera passará a se mover com velocidade constante (isto é, quando ela atingir o rolamento sem deslizamento,
Passo 2
Entendimento físico qualitativo e sinalização das grandezas (sem ainda calcular). Aqui é importante entender o que acontece no contato esfera‑chão:
- A velocidade relativa do ponto de contato em relação ao solo é
. - O enunciado diz que
, então inicialmente : o ponto de contato da esfera desliza para frente sobre o solo. - O atrito de deslizamento (cinético) atua no sentido oposto ao deslizamento do ponto de contato sobre o solo. Portanto o atrito sobre a esfera tem direção que reduz a velocidade linear
e, ao mesmo tempo, produz um torque que tende a aumentar até que se alcance a condição de rolamento sem deslizamento . - Enquanto houver deslizamento, assumimos atrito cinético de módulo constante
.
Passo 3
Equações do movimento (translação e rotação) durante o deslizamento — explicando cada termo.
-
Para a translação do centro de massa, a segunda lei de Newton nos dá:onde
é a aceleração linear do centro de massa (sinal negativo porque o atrito reduz ) e é o módulo do atrito cinético. Portanto: Comentário didático: isto significa que a velocidade linear diminui linearmente no tempo com declive. -
Para a rotação em torno do centro, o atrito produz um torque que altera a velocidade angular. A equação de rotação é:onde
é o momento de inércia da esfera e é a aceleração angular (positiva no sentido que aumenta ). Note que o sinal é positivo aqui porque o torque do atrito, atuando no sentido que tende a aumentar até igualar , tem efeito de aceleração angular. Substituindo e , obtemos a expressão de .
Passo 4
Cálculo explícito de
usando o momento de inércia da esfera.
- Substituindo em
: - Cancelando
e um fator : Explicação: é constante enquanto o atrito cinético estiver presente, porque , e são constantes.
Passo 5
Escrever
e
durante o deslizamento (são funções lineares do tempo) e aplicar a condição de rolamento sem deslizamento.
- Como
(constante), a velocidade linear no instante é - Como
(constante), a velocidade angular é - A condição de rolamento sem deslizamento é
Substituindo as expressões:
Passo 6
Resolver a equação acima para
— desenvolvimento algébrico passo a passo.
- Expanda o lado direito:
- Agrupe os termos em
no mesmo lado: - Isolando
: Observação: como , como esperado.
Passo 7
Substituir os valores numéricos e calcular o tempo final, com contas detalhadas para você poder reproduzir na prova sem calculadora.
- Calcular primeiro a diferença inicial:
- Calcular
: - Agora aplicar a fórmula de
:
Passo 8
Interpretação rápida e incentivo (só para você se animar): em
a esfera terá reduzido sua velocidade linear e aumentado sua rotação até que a condição
seja satisfeita; a partir desse instante ela passa a rolar sem deslizar e, se não houver outros dissipativos, a velocidade do centro de massa deixará de variar devido apenas ao atrito cinético ter cessado (passa a haver atrito estático sem trabalho dissipativo na condição ideal).