Questão 5
Uma esfera de raio r=0.5 \mathrm{~m} e massa W / g=10 \mathrm{~kg} é projetada ao longo de uma superfície plana horizontal com velocidade linear inicial v_{0}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e velocidade angular inicial \omega_{0}=\dot{\theta_{0}}=13 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Após quanto tempo a esfera passará a se mover com velocidade constante? Considere que o coeficiente de atrito no ponto de contato é \mu=0.20 e assuma que a gravidade seja g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Observe que v_{0}>r \omega_{0}. Dados: I_{\text {esfera }}=\frac{W}{g} \frac{2 r^{2}}{5}. (2.0 pontos)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados numéricos fornecidos:
    • r=0,5\\ \mathrm{m}
    • \dfrac{W}{g}=10\\ \mathrm{kg} (logo a massa é m=10\\ \mathrm{kg})
    • v_0=10\\ \mathrm{m/s}
    • \omega_0=13\\ \mathrm{rad/s}
    • \mu=0,20
    • g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}
    • Momento de inércia dado: I_{\text{esfera}}=\dfrac{W}{g}\dfrac{2r^{2}}{5}=m\cdot\dfrac{2r^{2}}{5}
  • O que o enunciado pergunta:
    • Após quanto tempo a esfera passará a se mover com velocidade constante (isto é, quando ela atingir o rolamento sem deslizamento, v=r\omega)?

Passo 2

Entendimento físico qualitativo e sinalização das grandezas (sem ainda calcular). Aqui é importante entender o que acontece no contato esfera‑chão:
  • A velocidade relativa do ponto de contato em relação ao solo é v_{\text{rec}}=v - r\omega.
  • O enunciado diz que v_0>r\omega_0, então inicialmente v_{\text{rec}}>0: o ponto de contato da esfera desliza para frente sobre o solo.
  • O atrito de deslizamento (cinético) atua no sentido oposto ao deslizamento do ponto de contato sobre o solo. Portanto o atrito sobre a esfera tem direção que reduz a velocidade linear v e, ao mesmo tempo, produz um torque que tende a aumentar \omega até que se alcance a condição de rolamento sem deslizamento v=r\omega.
  • Enquanto houver deslizamento, assumimos atrito cinético de módulo constante f=\mu m g.

Passo 3

Equações do movimento (translação e rotação) durante o deslizamento — explicando cada termo.
  • Para a translação do centro de massa, a segunda lei de Newton nos dá:
    m a = \sum F_{\text{horiz}} = -f,
    onde a é a aceleração linear do centro de massa (sinal negativo porque o atrito reduz v) e f=\mu m g é o módulo do atrito cinético. Portanto:
    a = -\frac{f}{m} = -\frac{\mu m g}{m} = -\mu g.
    Comentário didático: isto significa que a velocidade linear diminui linearmente no tempo com declive \mu g.
  • Para a rotação em torno do centro, o atrito produz um torque que altera a velocidade angular. A equação de rotação é:
    I\alpha = \sum \tau = f r,
    onde I é o momento de inércia da esfera e \alpha é a aceleração angular (positiva no sentido que aumenta \omega). Note que o sinal é positivo aqui porque o torque do atrito, atuando no sentido que tende a aumentar \omega até igualar v/r, tem efeito de aceleração angular. Substituindo f=\mu m g e I=m\cdot\dfrac{2r^{2}}{5}, obtemos a expressão de \alpha.

Passo 4

Cálculo explícito de \alpha usando o momento de inércia da esfera.
  • Substituindo em I\alpha = f r: m\cdot\dfrac{2r^{2}}{5}\,\alpha = (\mu m g)\,r.
  • Cancelando m e um fator r: \dfrac{2r}{5}\,\alpha = \mu g \quad\Rightarrow\quad \alpha = \dfrac{5}{2r}\,\mu g.Explicação: \alpha é constante enquanto o atrito cinético estiver presente, porque \mu, g e r são constantes.

Passo 5

Escrever v(t) e \omega(t) durante o deslizamento (são funções lineares do tempo) e aplicar a condição de rolamento sem deslizamento.
  • Como a=-\mu g (constante), a velocidade linear no instante t é v(t)=v_0 + a t = v_0 - \mu g\,t.
  • Como \alpha=\dfrac{5\mu g}{2r} (constante), a velocidade angular é \omega(t)=\omega_0 + \alpha t = \omega_0 + \dfrac{5\mu g}{2r}\,t.
  • A condição de rolamento sem deslizamento é v(t)=r\,\omega(t).Substituindo as expressões: v_0 - \mu g\,t = r\left(\omega_0 + \dfrac{5\mu g}{2r}\,t\right).

Passo 6

Resolver a equação acima para t — desenvolvimento algébrico passo a passo.
  • Expanda o lado direito: v_0 - \mu g\,t = r\omega_0 + \dfrac{5\mu g}{2}\,t.
  • Agrupe os termos em t no mesmo lado: v_0 - r\omega_0 = \mu g\,t + \dfrac{5\mu g}{2}\,t = \mu g\,t\left(1+\dfrac{5}{2}\right) = \mu g\,t\cdot\dfrac{7}{2}.
  • Isolando t: t = \dfrac{2}{7\,\mu g}\,(v_0 - r\omega_0).Observação: como v_0>r\omega_0, t>0 como esperado.

Passo 7

Substituir os valores numéricos e calcular o tempo final, com contas detalhadas para você poder reproduzir na prova sem calculadora.
  • Calcular primeiro a diferença inicial: v_0 - r\omega_0 = 10 - 0,5\cdot 13 = 10 - 6,5 = 3,5\\ \mathrm{m/s}.
  • Calcular \mu g: \mu g = 0,20 \times 10 = 2\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Agora aplicar a fórmula de t: t = \dfrac{2}{7\cdot 2}\cdot 3,5 = \dfrac{2}{14}\cdot 3,5 = \dfrac{1}{7}\cdot 3,5 = 0,5\\ \mathrm{s}.

Passo 8

Interpretação rápida e incentivo (só para você se animar): em 0,5\\ \mathrm{s} a esfera terá reduzido sua velocidade linear e aumentado sua rotação até que a condição v=r\omega seja satisfeita; a partir desse instante ela passa a rolar sem deslizar e, se não houver outros dissipativos, a velocidade do centro de massa deixará de variar devido apenas ao atrito cinético ter cessado (passa a haver atrito estático sem trabalho dissipativo na condição ideal).

Resposta

0,5\\ \mathrm{s}

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