Questão 3
- Uma barra uniforme de comprimento
e massa
está suspensa presa ao apoio fixo
. Se uma força
de magnitude
for aplicada em
horizontalmente para a esquerda
, determine (a) a aceleração angular da barra, (b) os componentes da reação em
. (2.0 pontos)
Passo 1
O que o enunciado dá (peguei estes números do enunciado e da figura):
- Comprimento da barra:
. - Massa da barra:
(logo o peso é ). - Força aplicada em
: , horizontal, dirigida para a esquerda. A força atua na extremidade , ou seja, a distância ao pivô é (peguei essa posição da figura/enunciado).
O que é pedido:
(a) a aceleração angular da barra imediatamente após a aplicação de
(assumindo que parte do repouso);
(b) os componentes da reação no apoio em , ou seja
e
.
(a) a aceleração angular da barra
(b) os componentes da reação no apoio em
Coordenadas e convenções que vou usar:
- Eixo
positivo para a direita, eixo positivo para cima. - Rotação no sentido anti-horário (sentido que empurra a extremidade para a esquerda) será considerada positiva para
.
Passo 2
Entender quais momentos (torques) atuam em torno de
e qual torque gera a rotação. Lembrete da fórmula do torque causado por uma força:
onde
é a força e
é a distância perpendicular entre a linha de ação da força e o ponto sobre o qual se calcula o momento. Aqui:
- A força
é horizontal aplicada em , a uma distância vertical do pivô . Portanto o braço perpendicular de em relação a é , e o torque devido a tem magnitude
- O peso resultante
age verticalmente através do centro de massa (no meio da barra). Como o centro de massa está ao longo da linha vertical que passa por , a força peso tem linha de ação que passa pelo pivô; portanto o torque do peso em torno de é zero (braço perpendicular nulo).
Logo, o único torque que gera a aceleração angular inicial é o de
, de magnitude
, no sentido anti-horário (positivo) porque
puxa a extremidade inferior para a esquerda.
Passo 3
Calcular o momento de inércia da barra em relação ao eixo passando por
(uma extremidade), perpendicular ao comprimento. Fórmula conhecida (e fácil de justificar por integração; aqui apenas uso o resultado padrão):
Explicando cada símbolo:
é o momento de inércia da barra em relação ao ponto
,
é a massa da barra,
o comprimento. Substituindo
e
,
Passo 4
Relacionar torque líquido com aceleração angular: equação de rotação para corpo rígido em torno de um eixo fixo:
onde
é a soma dos momentos em torno de
(positivos no sentido escolhido) e
é a aceleração angular. Substituindo
e
,
Portanto a aceleração angular tem módulo
, no sentido anti-horário (isto é, a barra tende a girar para a esquerda na extremidade inferior).
Passo 5
Agora vamos achar os componentes da reação em
. Para isso usamos a segunda lei de Newton para a translação do centro de massa:
onde
é a aceleração do centro de massa (G).
Identificar forças externas (no plano): reação em
com componentes
(positiva para a direita) e
(positiva para cima), a força
em
(para a esquerda) e o peso
para baixo. Escrevendo componentes:
Precisamos de
. Como a barra rotaciona em torno de
, o movimento do centro de massa é puramente tangencial inicialmente (não há velocidade inicial, então o termo centrípeto
é zero). A magnitude da aceleração tangencial de um ponto a uma distância
do pivô é
Aqui o centro de massa está a
do pivô (barra uniforme), então
Direção: para uma rotação anti-horária a velocidade inicial é zero e a aceleração tangencial do centro é horizontal para a esquerda. Portanto, numericamente (peguei
do passo anterior e
do enunciado):
Passo 6
Substituir estas acelerações nas equações de forças e resolver para
e
.
Equação em
:
Substituindo
,
e
:
Interpretação do sinal:
significa que a reação no pivô atua com
para a esquerda (ou seja, componente horizontal apontando para a esquerda).
Equação em
:
Usando
e
(valor padrão):
Se preferir uma expressão simbólica:
.
Resposta
(a)
(anti-horário)
(b) (ou seja,
para a esquerda)
(para cima)
(b)