Questão 3
  1. Uma barra uniforme de comprimento L=1 m e massa W / g=2 k g está suspensa presa ao apoio fixo A. Se uma força P de magnitude 8 N for aplicada em B horizontalmente para a esquerda (h=L), determine (a) a aceleração angular da barra, (b) os componentes da reação em A. (2.0 pontos)

Passo 1

O que o enunciado dá (peguei estes números do enunciado e da figura):
  • Comprimento da barra: L=1\\ \text{m}.
  • Massa da barra: m=\dfrac{W}{g}=2\\ \text{kg} (logo o peso é W=m g).
  • Força aplicada em B: P=8\\ \text{N}, horizontal, dirigida para a esquerda. A força atua na extremidade B, ou seja, a distância ao pivô é h=L (peguei essa posição da figura/enunciado).
O que é pedido:
(a) a aceleração angular da barra \alpha imediatamente após a aplicação de P (assumindo que parte do repouso);
(b) os componentes da reação no apoio em A, ou seja A_x e A_y.
Coordenadas e convenções que vou usar:
  • Eixo x positivo para a direita, eixo y positivo para cima.
  • Rotação no sentido anti-horário (sentido que empurra a extremidade para a esquerda) será considerada positiva para \alpha.

Passo 2

Entender quais momentos (torques) atuam em torno de A e qual torque gera a rotação. Lembrete da fórmula do torque causado por uma força:
\tau = F\,r_\perp,
onde F é a força e r_\perp é a distância perpendicular entre a linha de ação da força e o ponto sobre o qual se calcula o momento. Aqui:
  • A força P é horizontal aplicada em B, a uma distância vertical L do pivô A. Portanto o braço perpendicular de P em relação a A é r_\perp = L, e o torque devido a P tem magnitude
\tau_P = P\,L.
  • O peso resultante W=mg age verticalmente através do centro de massa (no meio da barra). Como o centro de massa está ao longo da linha vertical que passa por A, a força peso tem linha de ação que passa pelo pivô; portanto o torque do peso em torno de A é zero (braço perpendicular nulo).
Logo, o único torque que gera a aceleração angular inicial é o de P, de magnitude P L, no sentido anti-horário (positivo) porque P puxa a extremidade inferior para a esquerda.

Passo 3

Calcular o momento de inércia da barra em relação ao eixo passando por A (uma extremidade), perpendicular ao comprimento. Fórmula conhecida (e fácil de justificar por integração; aqui apenas uso o resultado padrão):
I_A=\frac{1}{3} m L^2.
Explicando cada símbolo: I_A é o momento de inércia da barra em relação ao ponto A, m é a massa da barra, L o comprimento. Substituindo m=2\\ \text{kg} e L=1\\ \text{m},
I_A=\frac{1}{3}\cdot 2\cdot 1^2=\frac{2}{3}\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2.

Passo 4

Relacionar torque líquido com aceleração angular: equação de rotação para corpo rígido em torno de um eixo fixo:
\sum M_A = I_A\,\alpha,
onde \sum M_A é a soma dos momentos em torno de A (positivos no sentido escolhido) e \alpha é a aceleração angular. Substituindo \sum M_A = P L e I_A=\tfrac{2}{3},
\alpha=\frac{P L}{I_A}=\frac{8\cdot 1}{2/3}=8\cdot\frac{3}{2}=12.
Portanto a aceleração angular tem módulo \alpha=12\\ \text{rad/s}^2, no sentido anti-horário (isto é, a barra tende a girar para a esquerda na extremidade inferior).

Passo 5

Agora vamos achar os componentes da reação em A. Para isso usamos a segunda lei de Newton para a translação do centro de massa:
\sum \vec F = m\,\vec a_G,
onde \vec a_G é a aceleração do centro de massa (G).
Identificar forças externas (no plano): reação em A com componentes A_x (positiva para a direita) e A_y (positiva para cima), a força P em B (para a esquerda) e o peso W=mg para baixo. Escrevendo componentes:
A_x - P = m a_{Gx},
A_y - W = m a_{Gy}.
Precisamos de \vec a_G. Como a barra rotaciona em torno de A, o movimento do centro de massa é puramente tangencial inicialmente (não há velocidade inicial, então o termo centrípeto \omega^2 r é zero). A magnitude da aceleração tangencial de um ponto a uma distância r do pivô é
a_t = \alpha\, r.
Aqui o centro de massa está a r=L/2 do pivô (barra uniforme), então
a_{G\,(t)}=\alpha\frac{L}{2}.
Direção: para uma rotação anti-horária a velocidade inicial é zero e a aceleração tangencial do centro é horizontal para a esquerda. Portanto, numericamente (peguei \alpha do passo anterior e L do enunciado):
a_{Gx} = -\alpha\frac{L}{2} = -12\cdot\frac{1}{2} = -6\\ \text{m/s}^2,
a_{Gy}=0\quad(\text{não há componente vertical inicial}).ãá

Passo 6

Substituir estas acelerações nas equações de forças e resolver para A_x e A_y.
Equação em x:
A_x - P = m a_{Gx}\quad\Rightarrow\quad A_x = P + m a_{Gx}.
Substituindo P=8, m=2 e a_{Gx}=-6:
A_x = 8 + 2\cdot(-6) = 8 -12 = -4\\ \text{N}.
Interpretação do sinal: A_x=-4\\ \text{N} significa que a reação no pivô atua com 4\\ \text{N} para a esquerda (ou seja, componente horizontal apontando para a esquerda).
Equação em y:
A_y - W = m a_{Gy}\quad\Rightarrow\quad A_y = W + m\cdot 0 = W = m g.
Usando m=2\\ \text{kg} e g=9{,}81\\ \text{m/s}^2 (valor padrão):
A_y = 2\cdot 9{,}81 = 19{,}62\\ \text{N}.
Se preferir uma expressão simbólica: A_y=2g\\ \text{N}.

Resposta

(a) \alpha=12\\ \text{rad/s}^2 (anti-horário)
(b) A_x=-4\\ \text{N} (ou seja, 4\\ \text{N} para a esquerda)
A_y=19{,}62\\ \text{N} (para cima)

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