QUESTÃO 5
Em um experimento em laboratório, montou-se o circuito apresentado nesta questão, os valores de indutância e capacitância estão apresentados na tabela a baixo. Considere que a chave ficou muito tempo fechada.
A fim de estimar o comportamento da corrente no circuito equivalente, o aluno, em seu experimento, deve-se calcular a constante de tempo, quando o circuito, composto pelos indutores L2, L3, L4 e os resistores R2, R3 e R4, foi desconectado da fonte de tensão através abertura da chave no momento \mathrm{t}=0.

Passo 1

O enunciado pede claramente que se calcule a constante de tempo do circuito formado pelos indutores L2, L3, L4 e pelos resistores R2, R3, R4 no instante em que a chave é aberta em t=0. Informações dadas no enunciado:
  • A chave ficou muito tempo fechada antes de t=0 (ou seja, regime estacionário DC antes de abrir).
  • No instante t=0 a chave é aberta e o conjunto formado por L2,L3,L4 e R2,R3,R4 fica desconectado da fonte.
  • O enunciado menciona uma tabela com os valores de indutâncias e capacitâncias e um circuito “apresentado nesta questão”.
Informações que faltam e que são necessárias para produzir um valor numérico:
  • O diagrama do circuito (topologia: como L2,L3,L4 e R2,R3,R4 estão conectados entre si e com a fonte) NÃO foi fornecido.
  • A tabela com os valores numéricos de L2,L3,L4 e R2,R3,R4 NÃO foi fornecida.
    Sem o diagrama e sem os valores numéricos, não é possível calcular numericamente a constante de tempo específica pedida. A resolução só poderá dar a metodologia completa e as fórmulas gerais que você deve aplicar ao circuito verdadeiro (quando tiver a figura e os valores).

Passo 2

Entendendo o que acontece fisicamente (passo didático importante antes de mexer em contas).
  • Quando a chave ficou muito tempo fechada (regime DC permanente), as indutâncias em regime contínuo se comportam como curtos-circuitos ideais para correntes constantes. Isso significa que, no instante imediatamente anterior à abertura ( t=0^-), cada indutor carrega uma corrente constante que depende da topologia do circuito com a fonte conectada.
  • No instante imediatamente após abrir ( t=0^+), a corrente em cada indutor não pode mudar instantaneamente (propriedade física das indutâncias). Portanto, as correntes iniciais em L2,L3,L4 em t=0^+ são iguais às correntes que existiam em t=0^-.
  • Depois de t=0 o circuito desconectado da fonte terá uma resposta natural: energias armazenadas nos indutores irão dissipar-se nos resistores. Essa dissipação costuma seguir decaimento exponencial quando o circuito equivalente tem um único modo dominante (caso comum quando se reduz tudo para um único indutor equivalente e uma resistência equivalente).

Passo 3

Qual a definição da constante de tempo que vamos usar e o porquê.
  • Para um circuito RL simples com um único indutor L e uma resistência R em malha onde a corrente decai livremente, a constante de tempo é
\tau=\dfrac{L}{R}.
Aqui \tau tem unidades de segundos, L está em henries ( \mathrm{H}) e R em ohms ( \Omega).
  • Intuição: \tau mede quanto tempo a corrente leva para cair aproximadamente até 1/e ( \approx 36{,}8\%) do seu valor inicial. Quanto maior L, mais “inércia” magnética, mais lento o decaimento; quanto maior R, mais rápida a dissipação de energia, mais rápido o decaimento.

Passo 4

Como obter L_{\text{eq}} (indutância equivalente) a partir de L2,L3,L4 — regras práticas e exemplos.
  • Se os indutores estão em série (corrente única percorrendo todos), e não há acoplamento magnético (mutual negligible), então a indutância equivalente é a soma:
L_{\text{eq}} = L_2 + L_3 + L_4.
  • Se os indutores estão todos em paralelo (mesma tensão em cada ramo) e sem acoplamento magnético, então a indutância equivalente satisfaz
\dfrac{1}{L_{\text{eq}}} = \dfrac{1}{L_2} + \dfrac{1}{L_3} + \dfrac{1}{L_4}.
  • Se a topologia for mista (alguns em série, alguns em paralelo), reduzir passo a passo usando as regras acima até obter uma única L_{\text{eq}}.
  • Importante: se existe acoplamento magnético (mutual inductance) entre bobinas, não se pode usar as fórmulas simples; é preciso formar a matriz de indutância e resolver os modos próprios. Vou assumir aqui NÃO haver acoplamento, porque isso é o caso mais comum em exercícios de prova salvo indicação em contrário.

Passo 5

Como obter R_{\text{eq}} (resistência equivalente vista pelo(s) indutor(es)) — procedimento prático (Thevenin visto pelos indutores).
  • Desligue fontes independentes: fontes de tensão ideais tornam-se curto (curto-circuito) e fontes de corrente ideais tornam-se circuito aberto, para calcular resistências.
  • Olhe para a rede formada pelos resistores (R2,R3,R4) tal como fica após a chave abrir (ou seja, no circuito isolado onde as indutâncias manterão suas correntes iniciais).
  • Encontre a resistência efetiva através da qual a corrente inicial dos indutores irá circular para se dissipar. Em muitos casos isso é simplesmente a soma das resistências na malha pela qual a corrente passa. Em outros, se as correntes se dividem em ramos, é preciso calcular resistências equivalentes (série/paralelo) ou usar métodos de análise de malha/nós para achar a equação diferencial.
  • Regra prática: se você conseguiu reduzir os indutores a um único L_{\text{eq}} em série com uma única resistência R_{\text{eq}} (após simplificações), então a constante de tempo é \tau=L_{\text{eq}}/R_{\text{eq}}.
  • Se não for possível reduzir a um único par L_{\text{eq}},R_{\text{eq}} (por exemplo, várias malhas com acoplamento de correntes), o sistema terá múltiplas constantes de tempo (modos) e a resposta será soma de exponenciais. Em provas de graduação, normalmente a questão é formulada para que se reduza a uma única constante ou pede explicitamente a constante dominante.

Passo 6

Algoritmo prático, passo a passo, que você deve executar sobre o circuito real (quando tiver o diagrama e a tabela):
  1. Desenhe o circuito com a chave fechada (situação t=0^-). Substitua cada indutor por um curto e calcule as correntes iniciais em L2,L3,L4 — isso costuma ser um problema estático com leis de Kirchhoff.
  2. Em t=0^+ a chave é aberta. Desenhe o circuito do “subconjunto isolado” formado por L2,L3,L4 e R2,R3,R4 (agora sem a fonte).
  3. Analise a topologia nessa condição: veja se os indutores aparecem em série efetiva, em paralelo, ou se existem malhas independentes. Simplifique usando séries/paralelos (mantendo em mente que as correntes iniciais podem impor direções).
  4. Calcule L_{\text{eq}} usando as regras do Passo 4 (ou, se houver acoplamento, monte a matriz de indutância).
  5. Calcule R_{\text{eq}} visto pelos indutores usando o procedimento do Passo 5 (desligar fontes e reduzir resistências).
  6. Calcule a constante de tempo
\tau=\dfrac{L_{\text{eq}}}{R_{\text{eq}}}.
  1. (Opcional) Escreva a resposta do decaimento da corrente: para o caso simples de um único modo,
i(t)=i(0^+)\,\mathrm{e}^{-t/\tau},
onde i(0^+) é a corrente inicial calculada no passo 1.

Passo 7

Casos práticos úteis que aparecem frequentemente em provas (use como “receita” rápida caso a topologia coincida):
  • Caso A — todos os indutores em série e resistores em série na mesma malha: então
L_{\text{eq}}=L_2+L_3+L_4, \qquad R_{\text{eq}}=R_2+R_3+R_4,
e
\tau=\dfrac{L_2+L_3+L_4}{R_2+R_3+R_4}.
  • Caso B — todos os indutores em paralelo e os resistores igualmente em paralelo (e as correntes iniciais somam): então
\dfrac{1}{L_{\text{eq}}}=\dfrac{1}{L_2}+\dfrac{1}{L_3}+\dfrac{1}{L_4}, \qquad \dfrac{1}{R_{\text{eq}}}=\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{1}{R_3}+\dfrac{1}{R_4},
e \tau=L_{\text{eq}}/R_{\text{eq}}.
  • Caso C — malhas acopladas: há que montar equações de malha ou usar matriz de indutância; os tempos característicos são autovalores do sistema e a resposta pode ter múltiplas exponenciais.

Passo 8

Resumo do que você deve pegar da figura/tabela para aplicar tudo acima (checklist):
  • Topologia exata de conexão: como L2,L3,L4 e R2,R3,R4 estão ligados entre si e com a chave/fonte.
  • Valores numéricos: L_2,L_3,L_4 em henries e R_2,R_3,R_4 em ohms.
  • Indicação de acoplamento magnético entre indutores, se houver (mutual inductance M).
  • Qualquer resistência de fuga ou caminhos extras que possam afetar R_{\text{eq}}.
    Com isso você aplica o algoritmo do Passo 6 e obtém \tau numericamente.

Passo 9

Dica de prova — como escrever a solução de forma objetiva no caderno:
  1. Mostrar que na condição estacionária os indutores são curtos e calcular i(0^-).
  2. Desenhar o circuito em t=0^+ com a fonte removida (abrir/curto conforme o caso).
  3. Simplificar a rede para achar L_{\text{eq}} e R_{\text{eq}}.
  4. Escrever \tau=L_{\text{eq}}/R_{\text{eq}} e calcular numericamente.
  5. Dar a expressão temporal da corrente se pedirem: i(t)=i(0^+)\mathrm{e}^{-t/\tau}.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a constante de tempo porque a figura do circuito e a tabela com os valores de L_2,L_3,L_4 e R_2,R_3,R_4 não foram fornecidas. Em termos gerais, a constante de tempo vale
\tau=\dfrac{L_{\mathrm{eq}}}{R_{\mathrm{eq}}},
onde L_{\mathrm{eq}} e R_{\mathrm{eq}} são a indutância e a resistência equivalentes vistas pelo conjunto de indutores após a abertura da chave. Se os três indutores e os três resistores estiverem em série, por exemplo,
\tau=\dfrac{L_2+L_3+L_4}{R_2+R_3+R_4}.

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