QUESTÃO 5
Em um experimento em laboratório, montou-se o circuito apresentado nesta questão, os valores de indutância e capacitância estão apresentados na tabela a baixo. Considere que a chave ficou muito tempo fechada.
A fim de estimar o comportamento da corrente no circuito equivalente, o aluno, em seu experimento, deve-se calcular a constante de tempo, quando o circuito, composto pelos indutores L2, L3, L4 e os resistores R2, R3 e R4, foi desconectado da fonte de tensão através abertura da chave no momento
.
Em um experimento em laboratório, montou-se o circuito apresentado nesta questão, os valores de indutância e capacitância estão apresentados na tabela a baixo. Considere que a chave ficou muito tempo fechada.
Passo 1
O enunciado pede claramente que se calcule a constante de tempo do circuito formado pelos indutores
e pelos resistores
no instante em que a chave é aberta em
. Informações dadas no enunciado:
- A chave ficou muito tempo fechada antes de
(ou seja, regime estacionário DC antes de abrir). - No instante
a chave é aberta e o conjunto formado por e fica desconectado da fonte. - O enunciado menciona uma tabela com os valores de indutâncias e capacitâncias e um circuito “apresentado nesta questão”.
Informações que faltam e que são necessárias para produzir um valor numérico:
- O diagrama do circuito (topologia: como
e estão conectados entre si e com a fonte) NÃO foi fornecido. - A tabela com os valores numéricos de
e NÃO foi fornecida.
Sem o diagrama e sem os valores numéricos, não é possível calcular numericamente a constante de tempo específica pedida. A resolução só poderá dar a metodologia completa e as fórmulas gerais que você deve aplicar ao circuito verdadeiro (quando tiver a figura e os valores).
Passo 2
Entendendo o que acontece fisicamente (passo didático importante antes de mexer em contas).
- Quando a chave ficou muito tempo fechada (regime DC permanente), as indutâncias em regime contínuo se comportam como curtos-circuitos ideais para correntes constantes. Isso significa que, no instante imediatamente anterior à abertura (
), cada indutor carrega uma corrente constante que depende da topologia do circuito com a fonte conectada. - No instante imediatamente após abrir (
), a corrente em cada indutor não pode mudar instantaneamente (propriedade física das indutâncias). Portanto, as correntes iniciais em em são iguais às correntes que existiam em . - Depois de
o circuito desconectado da fonte terá uma resposta natural: energias armazenadas nos indutores irão dissipar-se nos resistores. Essa dissipação costuma seguir decaimento exponencial quando o circuito equivalente tem um único modo dominante (caso comum quando se reduz tudo para um único indutor equivalente e uma resistência equivalente).
Passo 3
Qual a definição da constante de tempo que vamos usar e o porquê.
- Para um circuito RL simples com um único indutor
e uma resistência em malha onde a corrente decai livremente, a constante de tempo é
Aqui
tem unidades de segundos,
está em henries (
) e
em ohms (
).
- Intuição:
mede quanto tempo a corrente leva para cair aproximadamente até ( ) do seu valor inicial. Quanto maior , mais “inércia” magnética, mais lento o decaimento; quanto maior , mais rápida a dissipação de energia, mais rápido o decaimento.
Passo 4
Como obter
(indutância equivalente) a partir de
— regras práticas e exemplos.
- Se os indutores estão em série (corrente única percorrendo todos), e não há acoplamento magnético (mutual negligible), então a indutância equivalente é a soma:
- Se os indutores estão todos em paralelo (mesma tensão em cada ramo) e sem acoplamento magnético, então a indutância equivalente satisfaz
- Se a topologia for mista (alguns em série, alguns em paralelo), reduzir passo a passo usando as regras acima até obter uma única
. - Importante: se existe acoplamento magnético (mutual inductance) entre bobinas, não se pode usar as fórmulas simples; é preciso formar a matriz de indutância e resolver os modos próprios. Vou assumir aqui NÃO haver acoplamento, porque isso é o caso mais comum em exercícios de prova salvo indicação em contrário.
Passo 5
Como obter
(resistência equivalente vista pelo(s) indutor(es)) — procedimento prático (Thevenin visto pelos indutores).
- Desligue fontes independentes: fontes de tensão ideais tornam-se curto (curto-circuito) e fontes de corrente ideais tornam-se circuito aberto, para calcular resistências.
- Olhe para a rede formada pelos resistores
tal como fica após a chave abrir (ou seja, no circuito isolado onde as indutâncias manterão suas correntes iniciais). - Encontre a resistência efetiva através da qual a corrente inicial dos indutores irá circular para se dissipar. Em muitos casos isso é simplesmente a soma das resistências na malha pela qual a corrente passa. Em outros, se as correntes se dividem em ramos, é preciso calcular resistências equivalentes (série/paralelo) ou usar métodos de análise de malha/nós para achar a equação diferencial.
- Regra prática: se você conseguiu reduzir os indutores a um único
em série com uma única resistência (após simplificações), então a constante de tempo é . - Se não for possível reduzir a um único par
(por exemplo, várias malhas com acoplamento de correntes), o sistema terá múltiplas constantes de tempo (modos) e a resposta será soma de exponenciais. Em provas de graduação, normalmente a questão é formulada para que se reduza a uma única constante ou pede explicitamente a constante dominante.
Passo 6
Algoritmo prático, passo a passo, que você deve executar sobre o circuito real (quando tiver o diagrama e a tabela):
- Desenhe o circuito com a chave fechada (situação
). Substitua cada indutor por um curto e calcule as correntes iniciais em — isso costuma ser um problema estático com leis de Kirchhoff. - Em
a chave é aberta. Desenhe o circuito do “subconjunto isolado” formado por e (agora sem a fonte). - Analise a topologia nessa condição: veja se os indutores aparecem em série efetiva, em paralelo, ou se existem malhas independentes. Simplifique usando séries/paralelos (mantendo em mente que as correntes iniciais podem impor direções).
- Calcule
usando as regras do Passo 4 (ou, se houver acoplamento, monte a matriz de indutância). - Calcule
visto pelos indutores usando o procedimento do Passo 5 (desligar fontes e reduzir resistências). - Calcule a constante de tempo
- (Opcional) Escreva a resposta do decaimento da corrente: para o caso simples de um único modo,
onde
é a corrente inicial calculada no passo 1.
Passo 7
Casos práticos úteis que aparecem frequentemente em provas (use como “receita” rápida caso a topologia coincida):
- Caso A — todos os indutores em série e resistores em série na mesma malha: então
e
- Caso B — todos os indutores em paralelo e os resistores igualmente em paralelo (e as correntes iniciais somam): então
e
.
- Caso C — malhas acopladas: há que montar equações de malha ou usar matriz de indutância; os tempos característicos são autovalores do sistema e a resposta pode ter múltiplas exponenciais.
Passo 8
Resumo do que você deve pegar da figura/tabela para aplicar tudo acima (checklist):
- Topologia exata de conexão: como
e estão ligados entre si e com a chave/fonte. - Valores numéricos:
em henries e em ohms. - Indicação de acoplamento magnético entre indutores, se houver (mutual inductance
). - Qualquer resistência de fuga ou caminhos extras que possam afetar
.
Com isso você aplica o algoritmo do Passo 6 e obtémnumericamente.
Passo 9
Dica de prova — como escrever a solução de forma objetiva no caderno:
- Mostrar que na condição estacionária os indutores são curtos e calcular
. - Desenhar o circuito em
com a fonte removida (abrir/curto conforme o caso). - Simplificar a rede para achar
e . - Escrever
e calcular numericamente. - Dar a expressão temporal da corrente se pedirem:
.
Resposta
Não é possível determinar numericamente a constante de tempo porque a figura do circuito e a tabela com os valores de
e
não foram fornecidas. Em termos gerais, a constante de tempo vale
onde
e
são a indutância e a resistência equivalentes vistas pelo conjunto de indutores após a abertura da chave. Se os três indutores e os três resistores estiverem em série, por exemplo,