(0,5) Questão extra opcional
\mathbf{C}(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{2}+\mathbf{5 x}(\mathbf{m m}) é a concentração de um aditivo a partir de uma superficie plana (x=0) de um bloco na forma de paralelepípedo.
Utilizando o conceito de derivada abaixo, determine a taxa de variação da concentração em relação à distância x na posição x=3 \mathrm{~mm}, isto é, \mathbf{d C} / \mathbf{d x}(3 \mathrm{~mm}).
\begin{aligned} & (a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \\\ & A^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{d f}{d x} \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumido, sem resolver nada ainda):
  • É dada a função concentração \;C(x)=x^{2}+5x\;.
  • A variável \;x\; é a distância a partir da superfície \;(x=0) (o enunciado indica avaliar em \;x=3\\ \mathrm{mm}).
  • É fornecida a definição da derivada por limite:
A'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{df}{dx}.
  • Também foi lembrada a identidade:
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2},
que vamos usar para expandir (x+\Delta x)^{2}.
O que é pedido: calcular a taxa de variação da concentração em relação à distância na posição \;x=3\\ \mathrm{mm}, ou seja encontrar \dfrac{dC}{dx} e, em seguida, o valor \dfrac{dC}{dx}(3\\ \mathrm{mm}).

Passo 2

O que significa a derivada aqui (aula rápida e intuitiva):
  • A derivada \dfrac{dC}{dx} em um ponto mede a taxa de variação instantânea da concentração quando mudamos um pouquinho a distância x. Pense nela como a inclinação da reta tangente ao gráfico de C(x) naquele ponto.
  • Na definição por limite, \Delta x é uma pequena variação em x. A expressão
\frac{C(x+\Delta x)-C(x)}{\Delta x}
é a razão média de variação de C ao passar de x para x+\Delta x. Tomando \Delta x\to 0 obtemos a variação instantânea (a derivada).
  • Vou aplicar exatamente essa definição ao nosso C(x). Não precisa decorar nada além do procedimento: calcular C(x+\Delta x), subtrair C(x), dividir por \Delta x e fazer o limite.

Passo 3

Calcular C(x+\Delta x) usando a identidade do quadrado:
  • Primeiro escrevo C(x+\Delta x):
C(x+\Delta x)=(x+\Delta x)^{2}+5(x+\Delta x).
  • Expandindo (x+\Delta x)^{2} com a identidade (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, tomando a=x e b=\Delta x:
(x+\Delta x)^{2}=x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2}.
  • Então
C(x+\Delta x)=\bigl(x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2}\bigr)+5x+5\Delta x.

Passo 4

Formar o quociente incremental e simplificar:
  • Subtraio C(x) que é x^{2}+5x:
C(x+\Delta x)-C(x)=\bigl(x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2}+5x+5\Delta x\bigr)-(x^{2}+5x).
  • Cancelam x^{2} e 5x, sobrando
C(x+\Delta x)-C(x)=2x\Delta x+(\Delta x)^{2}+5\Delta x.
  • Divido tudo por \Delta x (assumindo \Delta x\neq 0 enquanto fazemos a manipulação):
\frac{C(x+\Delta x)-C(x)}{\Delta x}=2x+ \Delta x +5.

Passo 5

Tomar o limite quando \Delta x\to 0 para obter a derivada:
  • Agora uso a definição por limite:
\frac{dC}{dx}=\lim_{\Delta x\to 0}\bigl(2x+\Delta x+5\bigr).
  • Como \lim_{\Delta x\to 0}\Delta x=0, o resultado é
\frac{dC}{dx}=2x+5.
  • Interpretação: a taxa de variação instantânea da concentração em qualquer posição x é \;2x+5. As unidades serão (unidade de concentração) por \mathrm{mm} se x está em \mathrm{mm}.

Passo 6

Avaliar a derivada em \;x=3\\ \mathrm{mm}:
  • Substituo x=3 em \dfrac{dC}{dx}=2x+5:
\frac{dC}{dx}(3\\ \mathrm{mm})=2\cdot 3 + 5.
  • Calculo:
2\cdot 3 + 5 = 6 + 5 = 11.
  • Portanto a taxa de variação da concentração na posição \;x=3\\ \mathrm{mm} é \;11 (unidades de concentração por \mathrm{mm}).

Resposta

\frac{dC}{dx}(3\\ \mathrm{mm})=11\\ \text{(unidades de concentração)}/\mathrm{mm}çã

Exercícios relacionados