Questão extra opcional
é a concentração de um aditivo a partir de uma superficie plana
de um bloco na forma de paralelepípedo.
Utilizando o conceito de derivada abaixo, determine a taxa de variação da concentração em relação à distância
na posição
, isto é,
.
Utilizando o conceito de derivada abaixo, determine a taxa de variação da concentração em relação à distância
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (resumido, sem resolver nada ainda):
- É dada a função concentração
. - A variável
é a distância a partir da superfície (o enunciado indica avaliar em ). - É fornecida a definição da derivada por limite:
- Também foi lembrada a identidade:
que vamos usar para expandir
.
O que é pedido: calcular a taxa de variação da concentração em relação à distância na posição
, ou seja encontrar
e, em seguida, o valor
.
Passo 2
O que significa a derivada aqui (aula rápida e intuitiva):
- A derivada
em um ponto mede a taxa de variação instantânea da concentração quando mudamos um pouquinho a distância . Pense nela como a inclinação da reta tangente ao gráfico de naquele ponto. - Na definição por limite,
é uma pequena variação em . A expressão
é a razão média de variação de
ao passar de
para
. Tomando
obtemos a variação instantânea (a derivada).
- Vou aplicar exatamente essa definição ao nosso
. Não precisa decorar nada além do procedimento: calcular , subtrair , dividir por e fazer o limite.
Passo 3
Calcular
usando a identidade do quadrado:
- Primeiro escrevo
:
- Expandindo
com a identidade , tomando e :
- Então
Passo 4
Formar o quociente incremental e simplificar:
- Subtraio
que é :
- Cancelam
e , sobrando
- Divido tudo por
(assumindo enquanto fazemos a manipulação):
Passo 5
Tomar o limite quando
para obter a derivada:
- Agora uso a definição por limite:
- Como
, o resultado é
- Interpretação: a taxa de variação instantânea da concentração em qualquer posição
é . As unidades serão (unidade de concentração) por se está em .
Passo 6
Avaliar a derivada em
:
- Substituo
em :
- Calculo:
- Portanto a taxa de variação da concentração na posição
é (unidades de concentração por ).