Questão 2: O ferro sofre transformação alotrópica de CCC para CFC a 912{ }^{\circ} \mathrm{C}. Considere os seguintes dados: \mathrm{R}_{\mathrm{CCC}}=0,12584 \mathrm{~nm}
R_{\text {CFC }}=0,12894 \mathrm{~nm}
Calcule a variação percentual no volume da célula unitária durante essa transformação e marque a alternativa correta ( 1,5 ponto):
a) O volume diminui cerca de 7 \% 70 \%
(b) O volume aumenta cerca de 9 \% 90 \%
c) O volume aumenta cerca de 15 \%
d) O volume diminui cerca de 5 \%

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a variação percentual no volume da célula unitária quando o ferro muda de CCC (BCC) para CFC (FCC) a 912{ }^{\circ}\mathrm{C} e que se marque a alternativa correta. Dados fornecidos:
R_{\text{CCC}} = 0{,}12584\\ \mathrm{nm}
R_{\text{CFC}} = 0{,}12894\\ \mathrm{nm}
Pergunta explícita: qual é a variação percentual do volume da célula unitária durante a transformação e qual alternativa (a), (b), (c) ou (d) é a correta?

Passo 2

Conceito e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo):
  • Uma célula unitária cúbica tem volume igual a a^{3}, onde a é o parâmetro de rede (aresta da célula cúbica). Então precisamos calcular a_{\text{CCC}} e a_{\text{CFC}} a partir dos respectivos raios atômicos, e depois os volumes.
  • Relação entre raio atômico R e parâmetro de rede a:
    • Para estrutura BCC (CCC): os átomos se tocam ao longo da diagonal do cubo (diagonal do corpo). A diagonal do cubo tem comprimento \sqrt{3}\,a e nela aparecem quatro raios atômicos em sequência (do centro aos cantos): portanto 4R = \sqrt{3}\,a \quad\Rightarrow\quad a = \frac{4R}{\sqrt{3}}.Explicando: imagine a diagonal que vai de um canto ao canto oposto passando pelo átomo central — ao longo dela há 4 raios (metade do raio no canto + diâmetro no centro + metade no canto oposto) que somam 4R.
    • Para estrutura FCC (CFC): os átomos se tocam ao longo da diagonal da face. A diagonal da face tem comprimento \sqrt{2}\,a e nela também aparecem quatro raios atômicos em sequência, portanto 4R = \sqrt{2}\,a \quad\Rightarrow\quad a = \frac{4R}{\sqrt{2}}.
  • Depois de achar a_{\text{CCC}} e a_{\text{CFC}} calculamos os volumes V_{\text{CCC}} = a_{\text{CCC}}^{3},\qquad V_{\text{CFC}} = a_{\text{CFC}}^{3},e a variação percentual é \%\Delta V = \frac{V_{\text{CFC}} - V_{\text{CCC}}}{V_{\text{CCC}}}\times 100\%.

Passo 3

Cálculo do parâmetro de rede da estrutura CCC (BCC) usando a = \dfrac{4R}{\sqrt{3}}. Substituindo R_{\text{CCC}}=0{,}12584\\ \mathrm{nm}:
a_{\text{CCC}} = \frac{4\cdot 0{,}12584}{\sqrt{3}}.
Calculando numericamente (usando \sqrt{3}\approx 1{,}7320508):
4\cdot 0{,}12584 = 0{,}50336,
a_{\text{CCC}} = \frac{0{,}50336}{1{,}7320508}\approx 0{,}29060\\ \mathrm{nm}.

Passo 4

Cálculo do parâmetro de rede da estrutura CFC (FCC) usando a = \dfrac{4R}{\sqrt{2}}. Substituindo R_{\text{CFC}}=0{,}12894\\ \mathrm{nm}:
a_{\text{CFC}} = \frac{4\cdot 0{,}12894}{\sqrt{2}}.
Calculando numericamente (usando \sqrt{2}\approx 1{,}4142136):
4\cdot 0{,}12894 = 0{,}51576,
a_{\text{CFC}} = \frac{0{,}51576}{1{,}4142136}\approx 0{,}36470\\ \mathrm{nm}.

Passo 5

Agora calculamos os volumes das células unitárias:
V_{\text{CCC}} = a_{\text{CCC}}^{3} \approx (0{,}29060)^{3}.
Calculando:
(0{,}29060)^{2} \approx 0{,}084448\quad\text{e}\quad V_{\text{CCC}}\approx 0{,}084448\times 0{,}29060 \approx 0{,}0245407\\ \mathrm{nm}^{3}.
Para CFC:
V_{\text{CFC}} = a_{\text{CFC}}^{3} \approx (0{,}36470)^{3}.
Calculando:
(0{,}36470)^{2} \approx 0{,}133004\quad\text{e}\quad V_{\text{CFC}}\approx 0{,}133004\times 0{,}36470 \approx 0{,}0485058\\ \mathrm{nm}^{3}.

Passo 6

Cálculo da variação percentual do volume:
\%\Delta V = \frac{V_{\text{CFC}}-V_{\text{CCC}}}{V_{\text{CCC}}}\times 100\% = \frac{0{,}0485058 - 0{,}0245407}{0{,}0245407}\times 100\%.
Subtraindo e dividindo:
\Delta V = \frac{0{,}0239651}{0{,}0245407}\times 100\% \approx 0{,}97664\times 100\% \approx 97{,}7\%.
Interpretação: o volume da célula unitária aumenta em aproximadamente 97{,}7\% — ou seja, quase dobra — ao passar de CCC para CFC com os raios fornecidos. Comparando com as alternativas dadas, a que melhor representa esse resultado é a alternativa (b) (que indica aumento e cujo texto parece querer dizer "aumenta cerca de 90\%" — a alternativa (b) é a que corresponde a aumento e é a mais próxima do valor correto).

Resposta

\Delta V \approx 97{,}7\% (aumento)
(b)

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