Questão 1: Marque a alternativa incorreta e JUSTIFIQUE ( 1,0 ponto):
(a) A estrutura CCC possui um fator de empacotamento menor que a estrutura CFC.
b) A estrutura CFC apresenta maior número de coordenação que a CCC.
c) O fator de empacotamento atômico da estrutura CCC é 0,74 .
d) A estrutura CCC é comum em metais que operam em temperaturas elevadas.

Passo 1

O enunciado pede que eu marque a alternativa incorreta entre quatro afirmações sobre estruturas cristalinas cúbicas (CCC e CFC) e que eu justifique a minha escolha. As alternativas são:
(a) A estrutura CCC possui um fator de empacotamento menor que a estrutura CFC.
(b) A estrutura CFC apresenta maior número de coordenação que a CCC.
(c) O fator de empacotamento atômico da estrutura CCC é 0,74.
(d) A estrutura CCC é comum em metais que operam em temperaturas elevadas.
Informações relevantes dadas no enunciado: as quatro afirmações acima (não há dados numéricos adicionais no enunciado).

Passo 2

Primeiro preciso lembrar e calcular algumas propriedades básicas das duas estruturas para poder avaliar cada afirmativa: número de átomos por cela unitária, número de coordenação e fator de empacotamento atômico (APF — atomic packing factor). Vou começar contando quantos átomos há em cada cela unitária.
  • Para a estrutura CCC (cúbica de corpo centrado, BCC): há 8 átomos nos vértices, cada um pertencendo a 8 células (fração 1/8 por cela), e 1 átomo no centro da cela (inteiro). Logo o total de átomos por cela é
N_{\text{BCC}} = 8\cdot\frac{1}{8} + 1 = 2.
  • Para a estrutura CFC (cúbica de faces centradas, FCC): há 8 átomos nos vértices ( 1/8 cada) e 6 átomos em faces ( 1/2 cada). Logo
N_{\text{FCC}} = 8\cdot\frac{1}{8} + 6\cdot\frac{1}{2} = 1 + 3 = 4.
Esses números serão usados no cálculo do APF.

Passo 3

Agora uma breve explicação do que é o fator de empacotamento atômico (APF): é a fração do volume da cela unitária ocupada efetivamente pelos átomos (assumindo átomos como esferas rígidas). Matematicamente,
\text{APF}=\frac{\text{volume total das esferas na cela}}{\text{volume da cela unitária}}.á
O volume de uma esfera de raio r é \dfrac{4}{3}\pi r^{3}. Então preciso relacionar o parâmetro de rede a (aresta da cela cúbica) com o raio atômico r para cada estrutura.

Passo 4

Cálculo do APF para CCC (BCC):
  • Geometria: em BCC os átomos se tangenciam ao longo da diagonal do corpo da cela. A diagonal do corpo tem comprimento \sqrt{3}\,a e nele alinham-se 2 raios do átomo do centro + 2 raios de um átomo de canto (total 4r), logo
\sqrt{3}\,a = 4r \quad\Rightarrow\quad a = \frac{4r}{\sqrt{3}}.
  • Volume da cela:
V_{\text{cela}} = a^{3} = \left(\frac{4r}{\sqrt{3}}\right)^{3} = \frac{64\,r^{3}}{3\sqrt{3}}.
  • Volume ocupado pelos átomos na cela: são N_{\text{BCC}}=2 átomos,
V_{\text{átomos}} = 2\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3} = \frac{8}{3}\pi r^{3}.á
  • APF:
\text{APF}_{\text{BCC}} = \frac{V_{\text{átomos}}}{V_{\text{cela}}} = \frac{\dfrac{8}{3}\pi r^{3}}{\dfrac{64\,r^{3}}{3\sqrt{3}}} = \pi\cdot\frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{\pi\sqrt{3}}{8}.á
Numérico:
\frac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx 0,6802\\ (\text{aproximadamente }0,68).
Expliquei cada passo: equacionei a relação entre a e r, calculei volumes e simplifiquei a fração para obter o APF.

Passo 5

Cálculo do APF para CFC (FCC):
  • Geometria: em FCC os átomos se tangenciam ao longo da diagonal da face. A diagonal da face tem comprimento \sqrt{2}\,a e na diagonal da face alinham-se 4 raios, logo
\sqrt{2}\,a = 4r \quad\Rightarrow\quad a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\,r.
  • Volume da cela:
V_{\text{cela}} = a^{3} = (2\sqrt{2}\,r)^{3} = 16\sqrt{2}\,r^{3}.
  • Volume ocupado pelos átomos na cela: N_{\text{FCC}}=4 átomos,
V_{\text{átomos}} = 4\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3} = \frac{16}{3}\pi r^{3}.á
  • APF:
\text{APF}_{\text{FCC}} = \frac{\dfrac{16}{3}\pi r^{3}}{16\sqrt{2}\,r^{3}} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} = \frac{\pi\sqrt{2}}{6}.
Numérico:
\frac{\pi\sqrt{2}}{6}\approx 0,7405\\ (\text{aproximadamente }0,74).
Outro caminho: lembrar que FCC tem o maior empacotamento entre estruturas cúbicas regulares e seu APF é 0,74.

Passo 6

Agora verifico os itens usando os resultados calculados e conhecimentos sobre número de coordenação:
  • Número de coordenação (CN): é o número de vizinhos mais próximos de um átomo.
    • Em CCC (BCC) cada átomo do centro toca os 8 átomos dos vértices da cela — então \text{CN}_{\text{BCC}}=8.
    • Em CFC (FCC) cada átomo tem 12 vizinhos mais próximos (quatro no mesmo plano, quatro acima e quatro abaixo) — então \text{CN}_{\text{FCC}}=12.
  • Comparações e verificação das alternativas:
    (a) “A estrutura CCC possui um fator de empacotamento menor que a estrutura CFC.” — verdadeiro, pois \text{APF}_{\text{BCC}}\approx 0,68 < \text{APF}_{\text{FCC}}\approx 0,74.
    (b) “A estrutura CFC apresenta maior número de coordenação que a CCC.” — verdadeiro, pois 12 > 8.
    (c) “O fator de empacotamento atômico da estrutura CCC é 0,74.” — falso, porque o APF que calculei para CCC é \dfrac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx 0,68, não 0,74. Portanto esta alternativa é incorreta.
    (d) “A estrutura CCC é comum em metais que operam em temperaturas elevadas.” — geralmente verdadeiro na interpretação do enunciado: muitas vezes a estrutura BCC aparece em faixas de temperatura mais altas para vários metais (estrutura menos densa, favorecida termodinamicamente em certas condições de temperatura/entropia). Assim, no contexto didático comum, essa afirmação é aceita como verdadeira.

Passo 7

Resumo da justificativa principal para marcar a alternativa incorreta: a alternativa (c) atribui a CCC (BCC) o valor 0,74 para o fator de empacotamento, mas o cálculo geométrico direto da cela mostra que o APF da CCC é
\text{APF}_{\text{CCC}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx 0,68,
enquanto 0,74 é o APF correto da estrutura CFC (FCC). Portanto (c) está incorreta.

Resposta

(c)

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