Questão 1: Marque a alternativa incorreta e JUSTIFIQUE ( 1,0 ponto):
(a) A estrutura CCC possui um fator de empacotamento menor que a estrutura CFC.
b) A estrutura CFC apresenta maior número de coordenação que a CCC.
c) O fator de empacotamento atômico da estrutura CCC é 0,74 .
d) A estrutura CCC é comum em metais que operam em temperaturas elevadas.
(a) A estrutura CCC possui um fator de empacotamento menor que a estrutura CFC.
b) A estrutura CFC apresenta maior número de coordenação que a CCC.
c) O fator de empacotamento atômico da estrutura CCC é 0,74 .
d) A estrutura CCC é comum em metais que operam em temperaturas elevadas.
Passo 1
O enunciado pede que eu marque a alternativa incorreta entre quatro afirmações sobre estruturas cristalinas cúbicas (CCC e CFC) e que eu justifique a minha escolha. As alternativas são:
(a) A estrutura CCC possui um fator de empacotamento menor que a estrutura CFC.
(b) A estrutura CFC apresenta maior número de coordenação que a CCC.
(c) O fator de empacotamento atômico da estrutura CCC é .
(d) A estrutura CCC é comum em metais que operam em temperaturas elevadas.
(b) A estrutura CFC apresenta maior número de coordenação que a CCC.
(c) O fator de empacotamento atômico da estrutura CCC é
(d) A estrutura CCC é comum em metais que operam em temperaturas elevadas.
Informações relevantes dadas no enunciado: as quatro afirmações acima (não há dados numéricos adicionais no enunciado).
Passo 2
Primeiro preciso lembrar e calcular algumas propriedades básicas das duas estruturas para poder avaliar cada afirmativa: número de átomos por cela unitária, número de coordenação e fator de empacotamento atômico (APF — atomic packing factor). Vou começar contando quantos átomos há em cada cela unitária.
- Para a estrutura CCC (cúbica de corpo centrado, BCC): há
átomos nos vértices, cada um pertencendo a células (fração por cela), e 1 átomo no centro da cela (inteiro). Logo o total de átomos por cela é
- Para a estrutura CFC (cúbica de faces centradas, FCC): há
átomos nos vértices ( cada) e átomos em faces ( cada). Logo
Esses números serão usados no cálculo do APF.
Passo 3
Agora uma breve explicação do que é o fator de empacotamento atômico (APF): é a fração do volume da cela unitária ocupada efetivamente pelos átomos (assumindo átomos como esferas rígidas). Matematicamente,
O volume de uma esfera de raio
é
. Então preciso relacionar o parâmetro de rede
(aresta da cela cúbica) com o raio atômico
para cada estrutura.
Passo 4
Cálculo do APF para CCC (BCC):
- Geometria: em BCC os átomos se tangenciam ao longo da diagonal do corpo da cela. A diagonal do corpo tem comprimento
e nele alinham-se 2 raios do átomo do centro + 2 raios de um átomo de canto (total ), logo
- Volume da cela:
- Volume ocupado pelos átomos na cela: são
átomos,
- APF:
Numérico:
Expliquei cada passo: equacionei a relação entre
e
, calculei volumes e simplifiquei a fração para obter o APF.
Passo 5
Cálculo do APF para CFC (FCC):
- Geometria: em FCC os átomos se tangenciam ao longo da diagonal da face. A diagonal da face tem comprimento
e na diagonal da face alinham-se 4 raios, logo
- Volume da cela:
- Volume ocupado pelos átomos na cela:
átomos,
- APF:
Numérico:
Outro caminho: lembrar que FCC tem o maior empacotamento entre estruturas cúbicas regulares e seu APF é
.
Passo 6
Agora verifico os itens usando os resultados calculados e conhecimentos sobre número de coordenação:
-
Número de coordenação (CN): é o número de vizinhos mais próximos de um átomo.
- Em CCC (BCC) cada átomo do centro toca os
átomos dos vértices da cela — então . - Em CFC (FCC) cada átomo tem
vizinhos mais próximos (quatro no mesmo plano, quatro acima e quatro abaixo) — então .
- Em CCC (BCC) cada átomo do centro toca os
-
Comparações e verificação das alternativas:
(a) “A estrutura CCC possui um fator de empacotamento menor que a estrutura CFC.” — verdadeiro, pois.
(b) “A estrutura CFC apresenta maior número de coordenação que a CCC.” — verdadeiro, pois.
(c) “O fator de empacotamento atômico da estrutura CCC é.” — falso, porque o APF que calculei para CCC é , não . Portanto esta alternativa é incorreta.
(d) “A estrutura CCC é comum em metais que operam em temperaturas elevadas.” — geralmente verdadeiro na interpretação do enunciado: muitas vezes a estrutura BCC aparece em faixas de temperatura mais altas para vários metais (estrutura menos densa, favorecida termodinamicamente em certas condições de temperatura/entropia). Assim, no contexto didático comum, essa afirmação é aceita como verdadeira.
Passo 7
Resumo da justificativa principal para marcar a alternativa incorreta: a alternativa (c) atribui a CCC (BCC) o valor
para o fator de empacotamento, mas o cálculo geométrico direto da cela mostra que o APF da CCC é
enquanto
é o APF correto da estrutura CFC (FCC). Portanto (c) está incorreta.
Resposta
(c)