Questão 2 Uma força é aplicada a uma caixa que desliza em um piso horizontal no sentido positivo do eixo x . A força orientada na direção do eixo \mathrm{x} tem intensidade F=12 x-3 x^{2} \operatorname{com} \mathrm{x} em metros e F em newtons.
a) Qual é a velocidade da caixa após se deslocar a distância a.
b) Em que ponto entre 0<x<10 \mathrm{~m} a energia cinética é máxima?

Passo 1

O enunciado dá uma força aplicada na direção do eixo x com intensidade \;F(x)=12x-3x^{2}\; (força em newtons, x em metros). Há duas perguntas:
(a) Qual é a velocidade da caixa após ela se deslocar a distância \;a\; (presumindo que o movimento começa em x=0)?
(b) Em que ponto entre \;0<x<10\;\mathrm{m} a energia cinética é máxima?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A força é função de x: \;F(x)=12x-3x^{2}.
  • A distância final considerada na letra (a) é \;x=a.
  • O intervalo a considerar na letra (b) é \;0<x<10.
  • O enunciado não especifica velocidade inicial; vou assumir que a caixa parte do repouso em x=0, isto é, \;v(0)=0.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática):
  • Teorema trabalho-energia: o trabalho total realizado sobre um corpo iguala a variação de sua energia cinética. Em fórmula:
\Delta K = K(x_f)-K(x_i)=\int_{x_i}^{x_f} F(x)\,dx,
onde \;K=\tfrac{1}{2}m v^{2} é a energia cinética, m é a massa da caixa, v a velocidade, F(x) a força ao longo do deslocamento, e a integral é o trabalho da força entre as posições x_i e x_f.
  • Explicando as variáveis: \;x é a posição, \;F(x) é a força em newtons aplicada no ponto x. A integral de uma função F(x) de x_i até x_f soma infinitesimais F(x)\,dx, que aqui representam pequenos trabalhos dW, e dá o trabalho total W.

Passo 3

Aplicando o teorema para o deslocamento de x=0 até x=a:
\Delta K = \int_{0}^{a} F(x)\,dx = \int_{0}^{a} (12x-3x^{2})\,dx.
Agora calculamos essa integral passo a passo:
  • Integral de 12x é 12\cdot\frac{x^{2}}{2}=6x^{2}.
  • Integral de -3x^{2} é -3\cdot\frac{x^{3}}{3}=-x^{3}.
    Portanto, a primitiva é 6x^{2}-x^{3}. Avaliando de 0 a a:
\int_{0}^{a} (12x-3x^{2})\,dx = \big[6x^{2}-x^{3}\big]_{0}^{a}=6a^{2}-a^{3}.

Passo 4

Relacionando o trabalho com a energia cinética:
\Delta K = K(a)-K(0) = \tfrac{1}{2}m v(a)^{2} - \tfrac{1}{2}m v(0)^{2}.
Assumindo v(0)=0 (parte do repouso), temos \tfrac{1}{2}m v(a)^{2}= \int_{0}^{a} F(x)\,dx. Substituindo o resultado da integral:
\tfrac{1}{2}m v(a)^{2} = 6a^{2}-a^{3}.

Passo 5

Isolando v(a):
v(a)^{2} = \frac{2}{m}\big(6a^{2}-a^{3}\big).
Tomando raiz positiva (velocidade escalar, sentido positivo do eixo x):
v(a)=\sqrt{\frac{2}{m}\big(6a^{2}-a^{3}\big)}.
Podemos fatorar \;a^{2} para uma forma mais compacta:
v(a)=\sqrt{\frac{2a^{2}(6-a)}{m}}=a\sqrt{\frac{2(6-a)}{m}}.
Comentário: essa expressão só faz sentido real se 6-a\ge 0, ou seja, para a\le 6 a expressão dentro da raiz é não negativa; se a>6 o trabalho total até a fica negativo (a força média retardante), então a energia cinética pode diminuir e, dependendo da massa, a velocidade pode zerar antes de a — neste exercício assumimos que a caixa não mudou de sentido e a raiz real acima descreve a velocidade enquanto houver energia cinética positiva.

Passo 6

Agora a letra (b): queremos o ponto em (0,10) onde a energia cinética é máxima.
  • Defina a energia cinética acumulada a partir de 0 até x:
K(x)=\tfrac{1}{2}m v(x)^{2}= \int_{0}^{x} F(s)\,ds = 6x^{2}-x^{3}.
(Usamos a mesma integral que calculamos, trocando a por x.)
  • Para encontrar máximo de K(x) em (0,10) usamos cálculo: pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero. Como K'(x)=F(x) (derivado do resultado da integral pelo teorema fundamental do cálculo), temos:
K'(x)=F(x)=12x-3x^{2}.

Passo 7

Resolver K'(x)=0:
12x-3x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad 3x(4-x)=0.
As soluções são x=0 e x=4. Como queremos 0<x<10, a candidata interna é x=4.
Agora verificamos se é máximo: segunda derivada
K''(x)=F'(x)=\frac{d}{dx}(12x-3x^{2})=12-6x.
Avalia em x=4:
K''(4)=12-6\cdot 4=12-24=-12<0,
portanto x=4 é ponto de máximo local de K(x). Além disso, para x>4 a força F(x) fica negativa (pois 12x-3x^{2}<0 para x>4), logo a energia cinética começa a diminuir após x=4; assim o máximo global em [0,10] ocorre em x=4 (não é necessário comparar com x=10 porque sabemos que após x=4 K decresce).

Resposta

(a) \displaystyle v(a)=\sqrt{\frac{2}{m}\big(6a^{2}-a^{3}\big)}=a\sqrt{\frac{2(6-a)}{m}}.\n
(b) \displaystyle x=4\\ \mathrm{m}.

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