Questão 2 Uma força é aplicada a uma caixa que desliza em um piso horizontal no sentido positivo do eixo x . A força orientada na direção do eixo
tem intensidade
em metros e F em newtons.
a) Qual é a velocidade da caixa após se deslocar a distância a.
b) Em que ponto entre
a energia cinética é máxima?
a) Qual é a velocidade da caixa após se deslocar a distância a.
b) Em que ponto entre
Passo 1
O enunciado dá uma força aplicada na direção do eixo
com intensidade
(força em newtons,
em metros). Há duas perguntas:
(a) Qual é a velocidade da caixa após ela se deslocar a distância (presumindo que o movimento começa em
)?
(b) Em que ponto entre a energia cinética é máxima?
(a) Qual é a velocidade da caixa após ela se deslocar a distância
(b) Em que ponto entre
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A força é função de
: - A distância final considerada na letra (a) é
- O intervalo a considerar na letra (b) é
- O enunciado não especifica velocidade inicial; vou assumir que a caixa parte do repouso em
, isto é,
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicação didática):
- Teorema trabalho-energia: o trabalho total realizado sobre um corpo iguala a variação de sua energia cinética. Em fórmula:
onde
é a energia cinética,
é a massa da caixa,
a velocidade,
a força ao longo do deslocamento, e a integral é o trabalho da força entre as posições
e
.
- Explicando as variáveis:
é a posição, é a força em newtons aplicada no ponto . A integral de uma função de até soma infinitesimais , que aqui representam pequenos trabalhos , e dá o trabalho total .
Passo 3
Aplicando o teorema para o deslocamento de
até
:
Agora calculamos essa integral passo a passo:
- Integral de
é - Integral de
é
Portanto, a primitiva é. Avaliando de a :
Passo 4
Relacionando o trabalho com a energia cinética:
Assumindo
(parte do repouso), temos
Substituindo o resultado da integral:
Passo 5
Isolando
:
Tomando raiz positiva (velocidade escalar, sentido positivo do eixo
):
Podemos fatorar
para uma forma mais compacta:
Comentário: essa expressão só faz sentido real se
, ou seja, para
a expressão dentro da raiz é não negativa; se
o trabalho total até
fica negativo (a força média retardante), então a energia cinética pode diminuir e, dependendo da massa, a velocidade pode zerar antes de
— neste exercício assumimos que a caixa não mudou de sentido e a raiz real acima descreve a velocidade enquanto houver energia cinética positiva.
Passo 6
Agora a letra (b): queremos o ponto em
onde a energia cinética é máxima.
- Defina a energia cinética acumulada a partir de
até :
(Usamos a mesma integral que calculamos, trocando
por
.)
- Para encontrar máximo de
em usamos cálculo: pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero. Como (derivado do resultado da integral pelo teorema fundamental do cálculo), temos:
Passo 7
Resolver
:
As soluções são
e
. Como queremos
, a candidata interna é
.
Agora verificamos se é máximo: segunda derivada
Agora verificamos se é máximo: segunda derivada
Avalia em
:
portanto
é ponto de máximo local de
. Além disso, para
a força
fica negativa (pois
para
), logo a energia cinética começa a diminuir após
; assim o máximo global em
ocorre em
(não é necessário comparar com
porque sabemos que após
decresce).
Resposta
(a)
.\n
(b) .
(b)