QUESTÃO O que há de errado com a

Afirmação: Todos os cavalos têm a mesma cor.

Demonstração: Seja C um conjunto de cavalos tal que #(C) = n.
Vamos provar que a frase
*PASSO BASE: Se n = 1, então o conjunto tem apenas um elemento. Neste caso, a frase acima é obviamente verdadeira: em um conjunto com um cavalo só há cavalos da mesma cor.
*PASSO DE INDUÇÃO:
Hipótese: Em toco conjunto com k cavalos, só há cavalos de mesma cor.
Tese: Em todo conjunto com k + 1 cavalos, só há cavalos de mesma cor.
Com efeito, seja C = {c1, c2, ..., ck, ck+1} um conjunto com k + 1 cavalos. Vamos separar de C um cavalo de cada vez, formando dois conjuntos novos:
A = {c1, c2, ..., ck} e B = {c2, ..., ck, ck+1}.
É óbvio que o número de elementos de A e de B é o mesmo: k. E por hipótese de indução, todos os cavalos de A são da mesma cor. Sem perda de generalidade, podemos dizer que todos os cavalos de A são de cor P (escolha a cor que você quiser para chamar de P ). Da mesma forma, os cavalos de B, por hipótese de indução, também têm a mesma cor, digamos Q. Mas observe que o cavalo c2 pertence tanto a A quanto a B. Assim, c2 tem a cor P e a cor Q, ou seja, estas cores são iguais!!!
Assim, de c1 até c_k+1, todos os cavalos têm a mesma cor. E portanto, todos os cavalos de C têm a mesma cor, como queríamos demonstrar.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa afirmação: “Todos os cavalos têm a mesma cor.” O exercício está tentando provar isso usando matemática, mais especificamente, um método chamado indução matemática. Para resolver, vamos precisar entender como a indução funciona e identificar onde a prova está errada.

Passo 2

Primeiro, entender o que a indução matemática faz. É um método de prova que funciona em dois passos principais:
  1. Caso base: Mostrar que a afirmação é verdadeira para um caso inicial, geralmente quando .
  2. Passo de indução: Assumir que a afirmação é verdadeira para (hipótese de indução) e então mostrar que isso implica que a afirmação também é verdadeira para .
Aqui, a afirmação é que todos os cavalos em um conjunto têm a mesma cor.

Passo 3

Vamos ver o caso base que a prova dá: se temos apenas um cavalo ( ), então, obviamente, todos os cavalos nesse conjunto têm a mesma cor, porque tem só um. Esse passo está certinho!

Passo 4

Agora, o passo de indução. A prova assume que em qualquer conjunto com cavalos, todos têm a mesma cor. Então, para mostrar que isso vale para cavalos, ela divide o grupo de cavalos em dois grupos de cavalos cada:
  • Grupo A:
  • Grupo B:
Como cada grupo tem cavalos, pela hipótese de indução, todos no Grupo A têm uma cor e todos no Grupo B têm uma cor . O cavalo está em ambos os grupos, então . Assim, supostamente, todos os cavalos têm a mesma cor.

Passo 5

Parece que a prova está funcionando, certo? Mas tem um pulo no raciocínio quando !
Vamos testar para :
  • Grupo A:
  • Grupo B:
Aqui, nenhum cavalo está em ambos os grupos. Ou seja, não temos um cavalo comum para garantir que . Então, a conclusão de que não se sustenta nesse caso.

Passo 6

Por causa desse erro no passo de indução quando , a prova não consegue provar que todos os cavalos têm a mesma cor para qualquer número de cavalos maior que 1. Portanto, a afirmação inicial está errada e a prova falha no passo de indução.

Resposta

A afirmação de que “Todos os cavalos têm a mesma cor” está errada porque a prova por indução falha no passo de indução para , onde não há um cavalo comum nos grupos formados, tornando impossível concluir que todas as cores são iguais.

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