QUESTÃO O que há de errado com a
Afirmação: Todos os cavalos têm a mesma cor.
Demonstração: Seja
um conjunto de cavalos tal que
.
Vamos provar que a frase
*PASSO BASE: Se
, então o conjunto tem apenas um elemento. Neste caso, a frase acima é obviamente verdadeira: em um conjunto com um cavalo só há cavalos da mesma cor.
*PASSO DE INDUÇÃO:
Hipótese: Em toco conjunto com
cavalos, só há cavalos de mesma cor.
Tese: Em todo conjunto com
cavalos, só há cavalos de mesma cor.
Com efeito, seja
um conjunto com
cavalos. Vamos separar de
um cavalo de cada vez, formando dois conjuntos novos:
e
.
É óbvio que o número de elementos de
e de
é o mesmo:
. E por hipótese de indução, todos os cavalos de
são da mesma cor. Sem perda de generalidade, podemos dizer que todos os cavalos de
são de cor
(escolha a cor que você quiser para chamar de
). Da mesma forma, os cavalos de
, por hipótese de indução, também têm a mesma cor, digamos
. Mas observe que o cavalo
pertence tanto a
quanto a
. Assim,
tem a cor
e a cor
, ou seja, estas cores são iguais!!!
Assim, de
até
, todos os cavalos têm a mesma cor. E portanto, todos os cavalos de
têm a mesma cor, como queríamos demonstrar.
Vamos provar que a frase
*PASSO BASE: Se
*PASSO DE INDUÇÃO:
Hipótese: Em toco conjunto com
Tese: Em todo conjunto com
Com efeito, seja
É óbvio que o número de elementos de
Assim, de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa afirmação: “Todos os cavalos têm a mesma cor.” O exercício está tentando provar isso usando matemática, mais especificamente, um método chamado indução matemática. Para resolver, vamos precisar entender como a indução funciona e identificar onde a prova está errada.
Passo 2
Primeiro, entender o que a indução matemática faz. É um método de prova que funciona em dois passos principais:
- Caso base: Mostrar que a afirmação é verdadeira para um caso inicial, geralmente quando
. - Passo de indução: Assumir que a afirmação é verdadeira para
(hipótese de indução) e então mostrar que isso implica que a afirmação também é verdadeira para .
Aqui, a afirmação é que todos os cavalos em um conjunto têm a mesma cor.
Passo 3
Vamos ver o caso base que a prova dá: se temos apenas um cavalo (
), então, obviamente, todos os cavalos nesse conjunto têm a mesma cor, porque tem só um. Esse passo está certinho!
Passo 4
Agora, o passo de indução. A prova assume que em qualquer conjunto com
cavalos, todos têm a mesma cor. Então, para mostrar que isso vale para
cavalos, ela divide o grupo de
cavalos em dois grupos de
cavalos cada:
- Grupo A:
- Grupo B:
Como cada grupo tem
cavalos, pela hipótese de indução, todos no Grupo A têm uma cor
e todos no Grupo B têm uma cor
. O cavalo
está em ambos os grupos, então
. Assim, supostamente, todos os
cavalos têm a mesma cor.
Passo 5
Parece que a prova está funcionando, certo? Mas tem um pulo no raciocínio quando
!
Vamos testar para
:
- Grupo A:
- Grupo B:
Aqui, nenhum cavalo está em ambos os grupos. Ou seja, não temos um cavalo comum para garantir que
. Então, a conclusão de que
não se sustenta nesse caso.
Passo 6
Por causa desse erro no passo de indução quando
, a prova não consegue provar que todos os cavalos têm a mesma cor para qualquer número de cavalos maior que 1. Portanto, a afirmação inicial está errada e a prova falha no passo de indução.
Resposta
A afirmação de que “Todos os cavalos têm a mesma cor” está errada porque a prova por indução falha no passo de indução para
, onde não há um cavalo comum nos grupos formados, tornando impossível concluir que todas as cores são iguais.