Questão 2. No instante
, um tanque contém 25 g de sal dissolvidos em 50 litros de água. Então, água salgada contendo 4 g de sal por litro é acrescentada ao tanque a uma taxa de 2 litros/min, e a solução misturada é drenada do tanque à mesma taxa.
(a) (1.0) Determina uma equação diferencial, com condição inicial, para quantidade de sal
(em gramas) no instante
.
(b)(1.0)Resolva o PVI obtido no item (a).
(a) (1.0) Determina uma equação diferencial, com condição inicial, para quantidade de sal
(b)(1.0)Resolva o PVI obtido no item (a).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- O enunciado dá:
- No instante
há gramas de sal dissolvidos em litros de água. - Entrada: solução com concentração de
gramas de sal por litro entra à taxa de litros/min. - Saída: a solução misturada é drenada do tanque à mesma taxa de
litros/min (portanto o volume do tanque permanece constante).
- No instante
- O enunciado pede:
- (a) Determinar uma equação diferencial, com condição inicial, para a quantidade de sal
(em gramas) no instante . - (b) Resolver o problema de valor inicial (PVI) obtido no item (a).
- (a) Determinar uma equação diferencial, com condição inicial, para a quantidade de sal
Passo 2
Modelagem — definir as variáveis e montar a equação diferencial:
- Definição: seja
a quantidade de sal (em gramas) no tanque no instante (minutos). - Volume: como a vazão de entrada e saída são iguais (
L/min), o volume do tanque permanece constante e vale litros. Vou anotar isso como L (constante). - Princípio físico usado: a taxa de variação de
é igual à taxa de sal que entra menos a taxa de sal que sai. Em forma simbólica: - Calcular cada taxa (atenção nas unidades):
- Taxa de entrada: concentração de entrada
vazão de entrada. A concentração de entrada é g/L e a vazão é L/min, logo - Taxa de saída: a solução no tanque tem concentração
(g por litro). A vazão de saída é L/min, então
- Taxa de entrada: concentração de entrada
- Portanto a equação diferencial é
- Condição inicial (dada):
(gramas).
Passo 3
Resolvendo o PVI: reconhecimento do tipo de equação e estratégia.
- A equação
é uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes constantes. - Método escolhido: fator integrante (integrating factor). Vou explicar o que é e por que funciona:
- Para uma equação na forma
, o fator integrante é . Multiplicando a equação por tornamos o lado esquerdo a derivada do produto , o que facilita a integração direta.
- Para uma equação na forma
- Aqui
(constante), logo
Passo 4
Aplicar o fator integrante e integrar passo a passo:
- Multiplico a equação por
: - O lado esquerdo é a derivada do produto:
- Integrando ambos os lados em relação a
: Isso dá - Calcular a integral do lado direito:
(porque derivada de é ). Assim - Isolar
:
Passo 5
Determinar a constante usando a condição inicial e escrever a solução final:
- Usar
: Então . - Substituindo em
: - Verificações rápidas (sanidade): em
obtemos (ok). Quando , e g, que é o estado de equilíbrio esperado ( g/L L = g).
Resposta
(a)
(b)