Questão 2. No instante t=0, um tanque contém 25 g de sal dissolvidos em 50 litros de água. Então, água salgada contendo 4 g de sal por litro é acrescentada ao tanque a uma taxa de 2 litros/min, e a solução misturada é drenada do tanque à mesma taxa.
(a) (1.0) Determina uma equação diferencial, com condição inicial, para quantidade de sal q(t) (em gramas) no instante t>0.
(b)(1.0)Resolva o PVI obtido no item (a).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • O enunciado dá:
    • No instante t=0 25 gramas de sal dissolvidos em 50 litros de água.
    • Entrada: solução com concentração de 4 gramas de sal por litro entra à taxa de 2 litros/min.
    • Saída: a solução misturada é drenada do tanque à mesma taxa de 2 litros/min (portanto o volume do tanque permanece constante).
  • O enunciado pede:
    • (a) Determinar uma equação diferencial, com condição inicial, para a quantidade de sal q(t) (em gramas) no instante t>0.
    • (b) Resolver o problema de valor inicial (PVI) obtido no item (a).

Passo 2

Modelagem — definir as variáveis e montar a equação diferencial:
  • Definição: seja q(t) a quantidade de sal (em gramas) no tanque no instante t (minutos).
  • Volume: como a vazão de entrada e saída são iguais ( 2 L/min), o volume do tanque permanece constante e vale 50 litros. Vou anotar isso como V=50 L (constante).
  • Princípio físico usado: a taxa de variação de q é igual à taxa de sal que entra menos a taxa de sal que sai. Em forma simbólica: \frac{dq}{dt}=\text{(taxa de entrada de sal)}-\text{(taxa de saída de sal)}.í
  • Calcular cada taxa (atenção nas unidades):
    • Taxa de entrada: concentração de entrada \times vazão de entrada. A concentração de entrada é 4 g/L e a vazão é 2 L/min, logo \text{taxa de entrada}=4\cdot 2=8\\ \text{g/min}.
    • Taxa de saída: a solução no tanque tem concentração \dfrac{q(t)}{V} (g por litro). A vazão de saída é 2 L/min, então \text{taxa de saída}=\frac{q(t)}{V}\cdot 2 = \frac{2}{50}\,q(t)=\frac{1}{25}\,q(t)\\ \text{g/min}.í
  • Portanto a equação diferencial é \frac{dq}{dt}=8-\frac{1}{25}\,q(t).
  • Condição inicial (dada): q(0)=25 (gramas).

Passo 3

Resolvendo o PVI: reconhecimento do tipo de equação e estratégia.
  • A equação \frac{dq}{dt}+\frac{1}{25}q=8é uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes constantes.
  • Método escolhido: fator integrante (integrating factor). Vou explicar o que é e por que funciona:
    • Para uma equação na forma \dfrac{dq}{dt}+p(t)q=r(t), o fator integrante é \mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}. Multiplicando a equação por \mu(t) tornamos o lado esquerdo a derivada do produto \dfrac{d}{dt}\big(\mu(t)q(t)\big), o que facilita a integração direta.
  • Aqui p(t)=\dfrac{1}{25} (constante), logo \mu(t)=e^{\int \frac{1}{25}\,dt}=e^{t/25}.

Passo 4

Aplicar o fator integrante e integrar passo a passo:
  • Multiplico a equação por \mu(t)=e^{t/25}: e^{t/25}\frac{dq}{dt}+\frac{1}{25}e^{t/25}q=8e^{t/25}.
  • O lado esquerdo é a derivada do produto: \frac{d}{dt}\big(q(t)e^{t/25}\big)=8e^{t/25}.
  • Integrando ambos os lados em relação a t: \int \frac{d}{dt}\big(q(t)e^{t/25}\big)\,dt = \int 8e^{t/25}\,dt.Isso dá q(t)e^{t/25} = 8\int e^{t/25}\,dt + C.
  • Calcular a integral do lado direito: \int e^{t/25}\,dt = 25 e^{t/25} (porque derivada de t/25 é 1/25). Assim q(t)e^{t/25} = 8\cdot 25\,e^{t/25} + C = 200\,e^{t/25}+C.
  • Isolar q(t): q(t)=200 + C e^{-t/25}.

Passo 5

Determinar a constante usando a condição inicial e escrever a solução final:
  • Usar q(0)=25: q(0)=200 + C e^{0}=200 + C =25.Então C=25-200=-175.
  • Substituindo em q(t): q(t)=200-175\,e^{-t/25}.
  • Verificações rápidas (sanidade): em t=0 obtemos q(0)=200-175=25 (ok). Quando t\to\infty, e^{-t/25}\to 0 e q(t)\to 200 g, que é o estado de equilíbrio esperado ( 4 g/L \times 50 L = 200 g).

Resposta

(a) \dfrac{dq}{dt}=8-\dfrac{1}{25}q,\quad q(0)=25
(b) \displaystyle q(t)=200-175\,e^{-t/25}

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