Questão 4 - Lagrange e distância ao centro

Considere a elipse
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1
(a) Defina a função distância ao quadrado da origem e escreva o sistema de Lagrange para encontrar os pontos mais próximos e mais distantes da origem.
(b) Explique geometricamente por que os pontos extremos devem satisfazer \nabla f=\lambda \nabla g, interpretando em termos de perpendicularidade entre curvas de nível e a elipse.

Passo 1

O enunciado dá a elipse
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1
e pede duas coisas:
(a) definir a função distância ao quadrado da origem e escrever o sistema de multiplicadores de Lagrange que permita achar os pontos da elipse mais próximos e mais distantes da origem;
(b) explicar geometricamente por que os pontos extremos satisfazem \nabla f=\lambda\nabla g, interpretando isso em termos de perpendicularidade entre curvas de nível e a elipse.
Informações relevantes do enunciado:
\text{elipse: }\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1.
A busca é por pontos (x,y) sobre essa elipse que minimizam ou maximizam a distância à origem. A distância euclidiana é \sqrt{x^{2}+y^{2}}, mas é mais prático trabalhar com o seu quadrado.

Passo 2

Definir a função objetivo e a função de restrição. Vou explicar por que trabalho com o quadrado da distância: como a raiz quadrada é crescente para argumentos não negativos, minimizar (ou maximizar) \sqrt{x^{2}+y^{2}} é equivalente a minimizar (ou maximizar) x^{2}+y^{2}, e isso evita raízes nas contas.
Defino:
f(x,y)=x^{2}+y^{2}\quad\text{(distância ao quadrado da origem)}â
g(x,y)=\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}-1\quad\text{(a restrição, igual a zero na elipse)}çã
Agora explico o método dos multiplicadores de Lagrange (de forma didática, passo a passo):
  • A ideia é que, em um ponto extremo sujeito à restrição g(x,y)=0, não é possível variar a função f para primeiro ordem movendo-se ao longo da curva g=0.
  • O vetor gradiente \nabla f aponta na direção de máximo crescimento de f e é perpendicular às curvas de nível de f. Analogamente \nabla g é perpendicular à curva g=0 (à elipse).
  • Para que f não mude, até primeira ordem, ao mover-se dentro da elipse, \nabla f deve ser perpendicular a qualquer vetor tangente à elipse; mas \nabla g também é perpendicular a esses vetores tangentes. Logo \nabla f deve ser paralela a \nabla g. Isso é expresso pela existência de um escalar \lambda tal que \nabla f=\lambda\nabla g.
  • Em forma algébrica, o sistema de Lagrange é:
\nabla f(x,y)=\lambda\nabla g(x,y),\qquad g(x,y)=0.

Passo 3

Calcular explicitamente os gradientes (mostrar como derivar passo a passo):
  • Derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2y,
portanto
\nabla f(x,y)=(2x,\,2y).
  • Derivadas parciais de g:
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x^{2}}{4}\right)=\frac{x}{2},\qquad \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y^{2}}{9}\right)=\frac{2y}{9},
portanto
\nabla g(x,y)=\Big(\frac{x}{2},\,\frac{2y}{9}\Big).
Escrevendo o sistema \nabla f=\lambda\nabla g componente a componente e junto com a restrição:
2x=\lambda\frac{x}{2},
2y=\lambda\frac{2y}{9},
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1.

Passo 4

Resolver o sistema. Vou tratar os casos com cuidado (não pule etapas).
Das equações
2x=\lambda\frac{x}{2}\quad\Rightarrow\quad 2x-\lambda\frac{x}{2}=0\quad\Rightarrow\quad x\Big(2-\frac{\lambda}{2}\Big)=0,
2y=\lambda\frac{2y}{9}\quad\Rightarrow\quad 2y-\lambda\frac{2y}{9}=0\quad\Rightarrow\quad y\Big(2-\frac{\lambda}{9}\Big)=0.
Portanto cada equação dá duas possibilidades: x=0 ou 2-\frac{\lambda}{2}=0; e y=0 ou 2-\frac{\lambda}{9}=0.
Analise dos casos:
  • Caso A: suponha x\neq 0 e y\neq 0. Então temos
2-\frac{\lambda}{2}=0\implies \lambda=4,
2-\frac{\lambda}{9}=0\implies \lambda=18.
Esses dois valores são incompatíveis ( 4\neq 18), logo não existe solução com x\neq 0 e y\neq 0.
  • Caso B: x=0. Substituo na restrição:
\frac{0^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\implies \frac{y^{2}}{9}=1\implies y^{2}=9\implies y=\pm 3.
Como y\neq 0 aqui, posso obter \lambda pela segunda equação:
2-\frac{\lambda}{9}=0\implies \lambda=18.
Mas atenção: eu já mostrei no cálculo anterior que a equação vinha de 2y=\lambda\frac{2y}{9}. Substituindo y\neq 0 cancela y e dá \lambda=9\cdot 2? — aqui faço a conta com calma:
2y=\lambda\frac{2y}{9}\;\Rightarrow\;2=\lambda\frac{2}{9}\;\Rightarrow\;1=\lambda\frac{1}{9}\;\Rightarrow\;\lambda=9.
(Explicação: cancele 2y em ambos os lados cuidadosamente; o resultado correto é \lambda=9.)
Assim, para x=0 obtemos os pontos (0,3) e (0,-3).
  • Caso C: y=0. Substituo na restrição:
\frac{x^{2}}{4}+\frac{0^{2}}{9}=1\implies \frac{x^{2}}{4}=1\implies x^{2}=4\implies x=\pm 2.
Como x\neq 0 aqui, obtenho \lambda pela primeira equação:
2x=\lambda\frac{x}{2}\;\Rightarrow\;2=\lambda\frac{1}{2}\;\Rightarrow\;\lambda=4.
Logo, para y=0 obtemos os pontos (2,0) e (-2,0).
Observação: o caso x=y=0 é impossível porque não satisfaz a restrição g=0.

Passo 5

Calcular o valor da função objetivo f(x,y)=x^{2}+y^{2} nos candidatos encontrados e decidir mínimo e máximo:
  • Em (\pm 2,0): f( \pm 2,0)=2^{2}+0^{2}=4. A distância à origem é \sqrt{4}=2.
  • Em (0,\pm 3): f(0,\pm 3)=0^{2}+3^{2}=9. A distância à origem é \sqrt{9}=3.
Comparando, 4<9. Portanto os pontos (\pm 2,0) são os pontos mais próximos (mínimos) e (0,\pm 3) são os mais distantes (máximos) sobre a elipse.

Passo 6

Interpretação geométrica e por que aparece \nabla f=\lambda\nabla g (explicação didática, sem pular passos):
  • Curvas de nível de f(x,y)=x^{2}+y^{2} são círculos centrados na origem com raios \sqrt{c} (onde c é o valor da função). Em qualquer ponto de um desses círculos, o vetor \nabla f é perpendicular ao círculo e aponta radialmente para fora (ele é normal ao círculo).
  • A curva g(x,y)=0 é a elipse dada. Em qualquer ponto da elipse, o vetor \nabla g é normal à elipse nesse ponto.
  • Ao restringir f à elipse, procuramos pontos onde uma pequena movimentação ao longo da elipse não muda f na primeira ordem. Isso significa que a derivada direcional de f em qualquer vetor tangente \mathbf{v} à elipse deve ser zero:
\nabla f\cdot\mathbf{v}=0.
  • Mas os vetores tangentes \mathbf{v} à elipse são exatamente aqueles que satisfazem \nabla g\cdot\mathbf{v}=0 (porque \nabla g é normal à elipse). Logo todo vetor \mathbf{v} tangente é ortogonal a \nabla g. Se \nabla f também é ortogonal a todos esses \mathbf{v}, isso implica que \nabla f e \nabla g são vetores que apontam na mesma direção (ou em direções opostas): existe \lambda tal que
\nabla f=\lambda\nabla g.
  • Em termos geométricos simples: os círculos centrados na origem crescem ou encolhem; ao empurrar um círculo até tocar a elipse, o primeiro ponto de contato (mínimo) e o último ponto de contato (máximo) ocorrem quando o círculo é tangente à elipse. Tangência significa que as normais coincidem — isto é exatamente a condição \nabla f=\lambda\nabla g.

Passo 7

Resumo prático (receita para a prova):
  • Tomar f (objetivo) e g (restrição com =0).
  • Calcular \nabla f e \nabla g.
  • Resolver \nabla f=\lambda\nabla g junto com g=0, tratando casos em que coordenadas podem ser zero.
  • Avaliar f nos candidatos e comparar para classificar mínimos e máximos.
    Você já tem os pontos e o raciocínio; respire fundo — você consegue!

Resposta

(a) f(x,y)=x^{2}+y^{2}. Sistema de Lagrange:
2x=\lambda\frac{x}{2},\qquad 2y=\lambda\frac{2y}{9},\qquad \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1.
Pontos mais próximos: (\pm 2,0). Pontos mais distantes: (0,\pm 3).
(b) Porque \nabla f é normal às curvas de nível de f (círculos centrados na origem) e \nabla g é normal à elipse; em um extremo restrito a a elipse a variação de f ao longo da elipse deve ser nula, logo \nabla f e \nabla g apontam na mesma direção, i.e. existe \lambda tal que \nabla f=\lambda\nabla g — geometricamente é a condição de tangência entre um círculo centrado na origem e a elipse.

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