Questão 4 - Lagrange e distância ao centro
Considere a elipse
(a) Defina a função distância ao quadrado da origem e escreva o sistema de Lagrange para encontrar os pontos mais próximos e mais distantes da origem.
(b) Explique geometricamente por que os pontos extremos devem satisfazer
, interpretando em termos de perpendicularidade entre curvas de nível e a elipse.
(b) Explique geometricamente por que os pontos extremos devem satisfazer
Passo 1
O enunciado dá a elipse
e pede duas coisas:
(a) definir a função distância ao quadrado da origem e escrever o sistema de multiplicadores de Lagrange que permita achar os pontos da elipse mais próximos e mais distantes da origem;
(b) explicar geometricamente por que os pontos extremos satisfazem , interpretando isso em termos de perpendicularidade entre curvas de nível e a elipse.
(a) definir a função distância ao quadrado da origem e escrever o sistema de multiplicadores de Lagrange que permita achar os pontos da elipse mais próximos e mais distantes da origem;
(b) explicar geometricamente por que os pontos extremos satisfazem
Informações relevantes do enunciado:
A busca é por pontos
sobre essa elipse que minimizam ou maximizam a distância à origem. A distância euclidiana é
, mas é mais prático trabalhar com o seu quadrado.
Passo 2
Definir a função objetivo e a função de restrição. Vou explicar por que trabalho com o quadrado da distância: como a raiz quadrada é crescente para argumentos não negativos, minimizar (ou maximizar)
é equivalente a minimizar (ou maximizar)
, e isso evita raízes nas contas.
Defino:
Agora explico o método dos multiplicadores de Lagrange (de forma didática, passo a passo):
- A ideia é que, em um ponto extremo sujeito à restrição
, não é possível variar a função para primeiro ordem movendo-se ao longo da curva . - O vetor gradiente
aponta na direção de máximo crescimento de e é perpendicular às curvas de nível de . Analogamente é perpendicular à curva (à elipse). - Para que
não mude, até primeira ordem, ao mover-se dentro da elipse, deve ser perpendicular a qualquer vetor tangente à elipse; mas também é perpendicular a esses vetores tangentes. Logo deve ser paralela a . Isso é expresso pela existência de um escalar tal que . - Em forma algébrica, o sistema de Lagrange é:
Passo 3
Calcular explicitamente os gradientes (mostrar como derivar passo a passo):
- Derivadas parciais de
:
portanto
- Derivadas parciais de
:
portanto
Escrevendo o sistema
componente a componente e junto com a restrição:
Passo 4
Resolver o sistema. Vou tratar os casos com cuidado (não pule etapas).
Das equações
Portanto cada equação dá duas possibilidades:
ou
; e
ou
.
Analise dos casos:
- Caso A: suponha
e . Então temos
Esses dois valores são incompatíveis (
), logo não existe solução com
e
.
- Caso B:
. Substituo na restrição:
Como
aqui, posso obter
pela segunda equação:
Mas atenção: eu já mostrei no cálculo anterior que a equação vinha de
. Substituindo
cancela
e dá
— aqui faço a conta com calma:
(Explicação: cancele
em ambos os lados cuidadosamente; o resultado correto é
.)
Assim, para
obtemos os pontos
e
.
- Caso C:
. Substituo na restrição:
Como
aqui, obtenho
pela primeira equação:
Logo, para
obtemos os pontos
e
.
Observação: o caso
é impossível porque não satisfaz a restrição
.
Passo 5
Calcular o valor da função objetivo
nos candidatos encontrados e decidir mínimo e máximo:
- Em
: . A distância à origem é . - Em
: . A distância à origem é .
Comparando,
. Portanto os pontos
são os pontos mais próximos (mínimos) e
são os mais distantes (máximos) sobre a elipse.
Passo 6
Interpretação geométrica e por que aparece
(explicação didática, sem pular passos):
- Curvas de nível de
são círculos centrados na origem com raios (onde é o valor da função). Em qualquer ponto de um desses círculos, o vetor é perpendicular ao círculo e aponta radialmente para fora (ele é normal ao círculo). - A curva
é a elipse dada. Em qualquer ponto da elipse, o vetor é normal à elipse nesse ponto. - Ao restringir
à elipse, procuramos pontos onde uma pequena movimentação ao longo da elipse não muda na primeira ordem. Isso significa que a derivada direcional de em qualquer vetor tangente à elipse deve ser zero:
- Mas os vetores tangentes
à elipse são exatamente aqueles que satisfazem (porque é normal à elipse). Logo todo vetor tangente é ortogonal a . Se também é ortogonal a todos esses , isso implica que e são vetores que apontam na mesma direção (ou em direções opostas): existe tal que
- Em termos geométricos simples: os círculos centrados na origem crescem ou encolhem; ao empurrar um círculo até tocar a elipse, o primeiro ponto de contato (mínimo) e o último ponto de contato (máximo) ocorrem quando o círculo é tangente à elipse. Tangência significa que as normais coincidem — isto é exatamente a condição
.
Passo 7
Resumo prático (receita para a prova):
- Tomar
(objetivo) e (restrição com ). - Calcular
e . - Resolver
junto com , tratando casos em que coordenadas podem ser zero. - Avaliar
nos candidatos e comparar para classificar mínimos e máximos.
Você já tem os pontos e o raciocínio; respire fundo — você consegue!
Resposta
(a)
. Sistema de Lagrange:
Pontos mais próximos:
. Pontos mais distantes:
.
(b) Porque
é normal às curvas de nível de
(círculos centrados na origem) e
é normal à elipse; em um extremo restrito a a elipse a variação de
ao longo da elipse deve ser nula, logo
e
apontam na mesma direção, i.e. existe
tal que
— geometricamente é a condição de tangência entre um círculo centrado na origem e a elipse.