Questão 3) Linearização de sistemas não-lineares. Dadas as funções de sistemas a seguir, realizar a linearização do modelo em torno do ponto de operação indicado em cada caso.
OBS: em cada caso, escolher um ponto próximo ao ponto de operação (por exemplo: 0,1 para mais ou para menos) e analisar a precisão do modelo linear. Após isso, informar o erro percentual encontrado.
a)
, em torno do ponto
.
a)
Passo 1
O enunciado pede para linearizar a função em torno de um ponto de operação e depois avaliar a precisão do modelo linear em pontos próximos. Informações dadas e perguntas claras:
- Função:
. - Ponto de operação:
. - Tarefas: (i) obter a linearização de
em torno de ; (ii) escolher pontos próximos a (usarei , isto é, e ); (iii) comparar o valor exato com a aproximação linear nesses pontos e calcular o erro percentual.
Passo 2
Conceito de linearização (aulas práticas): quando uma função
é diferenciável em
, sua aproximação linear (primeira ordem de Taylor) em torno de
é
Aqui:
-
é o valor da função no ponto de operação; -
é a derivada (a inclinação da reta tangente) no ponto de operação; -
é o deslocamento em relação ao ponto de operação.
Essa retaé a melhor aproximação linear local de perto de .
Passo 3
Calcular a derivada de
e avaliá-la em
.
- Derivada: como
, usando regra do poder,
- Avaliando em
:
Passo 4
Montar a linearização com os valores encontrados:
Podemos simplificar:
Essa é a reta tangente a
em
e será nossa aproximação linear.
Passo 5
Escolher pontos próximos:
e
(ou seja,
). Calcular os valores exatos
nesses pontos.
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Calcular os valores aproximados pela linearização
.
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Calcular erro absoluto e erro percentual (fórmula usada):
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Interpretação rápida e incentivo: a aproximação linear ficou muito boa para variações de
em torno de
— o erro percentual é da ordem de
a
. Note que o erro absoluto é o mesmo nos dois lados (
), mas o erro percentual é maior para
porque o valor verdadeiro
é menor que
. Isso é típico: para avaliar precisão convém olhar o erro percentual, não só o absoluto. Vai dar tudo certo na prova — repete esse procedimento passo a passo nos outros exercícios que você tiver!