Questão 3) Linearização de sistemas não-lineares. Dadas as funções de sistemas a seguir, realizar a linearização do modelo em torno do ponto de operação indicado em cada caso.
OBS: em cada caso, escolher um ponto próximo ao ponto de operação (por exemplo: 0,1 para mais ou para menos) e analisar a precisão do modelo linear. Após isso, informar o erro percentual encontrado.
a) f(x)=4 x^{2}, em torno do ponto \bar{x}=2.

Passo 1

O enunciado pede para linearizar a função em torno de um ponto de operação e depois avaliar a precisão do modelo linear em pontos próximos. Informações dadas e perguntas claras:
  • Função: f(x)=4x^{2}.
  • Ponto de operação: \bar{x}=2.
  • Tarefas: (i) obter a linearização de f em torno de \bar{x}; (ii) escolher pontos próximos a \bar{x} (usarei \bar{x}\pm 0{,}1, isto é, 2{,}1 e 1{,}9); (iii) comparar o valor exato f(x) com a aproximação linear L(x) nesses pontos e calcular o erro percentual.

Passo 2

Conceito de linearização (aulas práticas): quando uma função f é diferenciável em \bar{x}, sua aproximação linear (primeira ordem de Taylor) em torno de \bar{x} é
L(x)=f(\bar{x})+f'(\bar{x})(x-\bar{x}).
Aqui:
  • f(\bar{x}) é o valor da função no ponto de operação;
  • f'(\bar{x}) é a derivada (a inclinação da reta tangente) no ponto de operação;
  • x-\bar{x} é o deslocamento em relação ao ponto de operação.
    Essa reta L(x) é a melhor aproximação linear local de f perto de \bar{x}.

Passo 3

Calcular a derivada de f e avaliá-la em \bar{x}.
  • Derivada: como f(x)=4x^{2}, usando regra do poder,
f'(x)=8x.
  • Avaliando em \bar{x}=2:
f(\bar{x})=f(2)=4\cdot 2^{2}=4\cdot 4=16,
f'(\bar{x})=f'(2)=8\cdot 2=16.

Passo 4

Montar a linearização com os valores encontrados:
L(x)=f(\bar{x})+f'(\bar{x})(x-\bar{x})=16+16(x-2).
Podemos simplificar:
L(x)=16+16x-32=16x-16.
Essa é a reta tangente a f em x=2 e será nossa aproximação linear.

Passo 5

Escolher pontos próximos: \,x_{1}=2{,}1 e x_{2}=1{,}9 (ou seja, \bar{x}\pm 0{,}1). Calcular os valores exatos f(x) nesses pontos.
  • Para x_{1}=2{,}1:
2{,}1^{2}=4{,}41\quad\Rightarrow\quad f(2{,}1)=4\cdot 4{,}41=17{,}64.
  • Para x_{2}=1{,}9:
1{,}9^{2}=3{,}61\quad\Rightarrow\quad f(1{,}9)=4\cdot 3{,}61=14{,}44.

Passo 6

Calcular os valores aproximados pela linearização L(x)=16+16(x-2).
  • Para x_{1}=2{,}1:
L(2{,}1)=16+16(2{,}1-2)=16+16\cdot 0{,}1=16+1{,}6=17{,}6.
  • Para x_{2}=1{,}9:
L(1{,}9)=16+16(1{,}9-2)=16+16\cdot(-0{,}1)=16-1{,}6=14{,}4.

Passo 7

Calcular erro absoluto e erro percentual (fórmula usada):
\text{erro percentual}=\frac{|f(x)-L(x)|}{|f(x)|}\times 100\%.
  • Para x_{1}=2{,}1:
|f(2{,}1)-L(2{,}1)|=|17{,}64-17{,}6|=0{,}04,
\text{erro percentual}=\frac{0{,}04}{17{,}64}\times 100\%\approx 0{,}2267\%\approx 0{,}227\%.
  • Para x_{2}=1{,}9:
|f(1{,}9)-L(1{,}9)|=|14{,}44-14{,}4|=0{,}04,
\text{erro percentual}=\frac{0{,}04}{14{,}44}\times 100\%\approx 0{,}2770\%\approx 0{,}277\%.

Passo 8

Interpretação rápida e incentivo: a aproximação linear ficou muito boa para variações de \pm 0{,}1 em torno de \bar{x}=2 — o erro percentual é da ordem de 0{,}2\% a 0{,}3\%. Note que o erro absoluto é o mesmo nos dois lados ( 0{,}04), mas o erro percentual é maior para x=1{,}9 porque o valor verdadeiro f(1{,}9) é menor que f(2{,}1). Isso é típico: para avaliar precisão convém olhar o erro percentual, não só o absoluto. Vai dar tudo certo na prova — repete esse procedimento passo a passo nos outros exercícios que você tiver!

Resposta

L(x)=16+16(x-2)=16x-16
\text{Erro percentual em }x=2{,}1:\;0{,}227\%
\text{Erro percentual em }x=1{,}9:\;0{,}277\%

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