Questão 3) Linearização de sistemas não-lineares. Dadas as funções de sistemas a seguir, realizar a linearização do modelo em torno do ponto de operação indicado em cada caso.
OBS: em cada caso, escolher um ponto próximo ao ponto de operação (por exemplo: 0,1 para mais ou para menos) e analisar a precisão do modelo linear. Após isso, informar o erro percentual encontrado.
b) f(x)=x^{3}, em torno do ponto \bar{x}=1,5.

Passo 1

O enunciado pede que eu faça a linearização da função f(x)=x^{3} em torno do ponto de operação \bar{x}=1{,}5. Além disso, devo escolher pontos próximos a \bar{x} (por exemplo \bar{x}\pm 0{,}1), usar o modelo linear para estimar f nesses pontos, comparar com o valor real e informar o erro percentual encontrado.
Informações relevantes dadas:
f(x)=x^{3},\qquad \bar{x}=1{,}5,\qquad \text{variações testadas: }x=1{,}6\\ \text{e}\\ x=1{,}4.çõ

Passo 2

O que é linearização (a ideia que vou usar): é aproximar a função por sua reta tangente em torno do ponto de operação \bar{x}. A fórmula da linearização (expansão de Taylor de ordem 1) é
L(x)=f(\bar{x})+f'(\bar{x})\,(x-\bar{x}),
onde f'(\bar{x}) é a derivada de f avaliada em \bar{x}. Aqui L(x) é a aproximação linear de f(x) próxima de \bar{x}.
Significado das variáveis: f(\bar{x}) é o valor da função no ponto de operação; f'(\bar{x}) é a inclinação da reta tangente nesse ponto; x-\bar{x} é o deslocamento em relação ao ponto de operação.

Passo 3

Calcular a derivada de f(x)=x^{3}. Usando a regra do expoente (regra do poder), a derivada é
f'(x)=3x^{2}.
Explicando passo a passo: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Aqui n=3, então f'(x)=3x^{2}. A derivada representa a taxa de variação instantânea (a inclinação da curva) em cada x.

Passo 4

Avaliar f e f' no ponto \bar{x}=1{,}5. Primeiro o valor da função:
f(\bar{x})=(1{,}5)^{3}=1{,}5\cdot 1{,}5\cdot 1{,}5=2{,}25\cdot 1{,}5=3{,}375.
Agora a derivada:
f'(\bar{x})=3(1{,}5)^{2}=3\cdot 2{,}25=6{,}75.

Passo 5

Construir o modelo linear usando a fórmula do Passo 2 com os valores do Passo 4:
L(x)=f(\bar{x})+f'(\bar{x})\,(x-\bar{x})=3{,}375+6{,}75\,(x-1{,}5).
Essa é a reta tangente a f em x=1{,}5. Ela será usada para aproximar f para x próximos de 1{,}5.

Passo 6

Escolher os pontos próximos indicados: x_{+}=1{,}6 ( \bar{x}+0{,}1) e x_{-}=1{,}4 ( \bar{x}-0{,}1). Vou calcular a previsão da linearização L(x) e o valor real f(x) em cada ponto, depois o erro percentual.

Passo 7

Cálculos em x=1{,}6.
  • Deslocamento: x-\bar{x}=1{,}6-1{,}5=0{,}1.
  • Aproximação linear:
L(1{,}6)=3{,}375+6{,}75\cdot 0{,}1=3{,}375+0{,}675=4{,}050.
  • Valor real:
f(1{,}6)=(1{,}6)^{3}=1{,}6\cdot 1{,}6\cdot 1{,}6=2{,}56\cdot 1{,}6=4{,}096.
  • Erro absoluto:
\Delta=|f(1{,}6)-L(1{,}6)|=|4{,}096-4{,}050|=0{,}046.
  • Erro percentual (relativo ao valor real):
\text{erro\%}=\frac{\Delta}{f(1{,}6)}\cdot 100\%=\frac{0{,}046}{4{,}096}\cdot 100\%\approx 1{,}12\%.

Passo 8

Cálculos em x=1{,}4.
  • Deslocamento: x-\bar{x}=1{,}4-1{,}5=-0{,}1.
  • Aproximação linear:
L(1{,}4)=3{,}375+6{,}75\cdot(-0{,}1)=3{,}375-0{,}675=2{,}700.
  • Valor real:
f(1{,}4)=(1{,}4)^{3}=1{,}4\cdot 1{,}4\cdot 1{,}4=1{,}96\cdot 1{,}4=2{,}744.
  • Erro absoluto:
\Delta=|f(1{,}4)-L(1{,}4)|=|2{,}744-2{,}700|=0{,}044.
  • Erro percentual (relativo ao valor real):
\text{erro\%}=\frac{\Delta}{f(1{,}4)}\cdot 100\%=\frac{0{,}044}{2{,}744}\cdot 100\%\approx 1{,}60\%.

Passo 9

Interpretação e causa do comportamento dos erros: a segunda derivada é
f''(x)=6x,
e em \bar{x}=1{,}5 temos f''(1{,}5)=9>0, ou seja, a função é convexa (curvatura para cima) no ponto. Para funções convexas, a reta tangente fica abaixo da curva em vizinhanças, logo a linearização tende a subestimar o valor real para pequenos deslocamentos de ambos os lados, o que ocorreu aqui. O erro cresce com a distância de \bar{x}; com \pm 0{,}1 o erro percentual ficou na faixa de 1\% a 1{,}6\%, relativamente pequeno.

Resposta

Linearização: L(x)=3{,}375+6{,}75\,(x-1{,}5)
Erro percentual em x=1{,}6: \approx 1{,}12\%
Erro percentual em x=1{,}4: \approx 1{,}60\%

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