Questão 3) Linearização de sistemas não-lineares. Dadas as funções de sistemas a seguir, realizar a linearização do modelo em torno do ponto de operação indicado em cada caso.
OBS: em cada caso, escolher um ponto próximo ao ponto de operação (por exemplo: 0,1 para mais ou para menos) e analisar a precisão do modelo linear. Após isso, informar o erro percentual encontrado.
b)
, em torno do ponto
.
b)
Passo 1
O enunciado pede que eu faça a linearização da função
em torno do ponto de operação
. Além disso, devo escolher pontos próximos a
(por exemplo
), usar o modelo linear para estimar
nesses pontos, comparar com o valor real e informar o erro percentual encontrado.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
Passo 2
O que é linearização (a ideia que vou usar): é aproximar a função por sua reta tangente em torno do ponto de operação
. A fórmula da linearização (expansão de Taylor de ordem 1) é
onde
é a derivada de
avaliada em
. Aqui
é a aproximação linear de
próxima de
.
Significado das variáveis: é o valor da função no ponto de operação;
é a inclinação da reta tangente nesse ponto;
é o deslocamento em relação ao ponto de operação.
Significado das variáveis:
Passo 3
Calcular a derivada de
. Usando a regra do expoente (regra do poder), a derivada é
Explicando passo a passo: a derivada de
é
. Aqui
, então
. A derivada representa a taxa de variação instantânea (a inclinação da curva) em cada
.
Passo 4
Avaliar
e
no ponto
. Primeiro o valor da função:
Agora a derivada:
Passo 5
Construir o modelo linear usando a fórmula do Passo 2 com os valores do Passo 4:
Essa é a reta tangente a
em
. Ela será usada para aproximar
para
próximos de
.
Passo 6
Escolher os pontos próximos indicados:
(
) e
(
). Vou calcular a previsão da linearização
e o valor real
em cada ponto, depois o erro percentual.
Passo 7
Cálculos em
.
- Deslocamento:
. - Aproximação linear:
- Valor real:
- Erro absoluto:
- Erro percentual (relativo ao valor real):
Passo 8
Cálculos em
.
- Deslocamento:
. - Aproximação linear:
- Valor real:
- Erro absoluto:
- Erro percentual (relativo ao valor real):
Passo 9
Interpretação e causa do comportamento dos erros: a segunda derivada é
e em
temos
, ou seja, a função é convexa (curvatura para cima) no ponto. Para funções convexas, a reta tangente fica abaixo da curva em vizinhanças, logo a linearização tende a subestimar o valor real para pequenos deslocamentos de ambos os lados, o que ocorreu aqui. O erro cresce com a distância de
; com
o erro percentual ficou na faixa de
a
, relativamente pequeno.
Resposta
Linearização:
Erro percentual em :
Erro percentual em :
Erro percentual em
Erro percentual em