QUESTÃO 3 ( \mathbf{3 , 0} pontos) - Um cilindro-pistão possui ar em seu interior, além de um agitador que mantém sua condição uniforme. A massa no interior do cilindro é 0,2 \mathrm{~kg} \mathrm{e} \mathrm{a} temperatura inicial 320 K . Durante um processo a pressão constante e com o agitador funcionando, são transferidos para o ar 20 kJ de energia na forma de calor, o que resulta em uma temperatura final 450 K .
Determinar o trabalho para deslocar o pistão. (1,5 pontos)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem clara.
  • Massa do ar: m=0,2\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura inicial: T_1=320\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura final: T_2=450\\ \mathrm{K}.
  • Processo a pressão constante.
  • Há um agitador que mantém a condição uniforme (isto é, há trabalho de eixo possível).
  • Energia transferida para o ar na forma de calor: Q=20\\ \mathrm{kJ}.
  • Pergunta: determinar o trabalho para deslocar o pistão (ou seja, o trabalho de fronteira W_b, o trabalho realizado pelo gás ao expandir a pressão constante).

Passo 2

Vamos usar a 1ª Lei da Termodinâmica para um sistema fechado (massa fixa) incluindo possível trabalho de eixo do agitador. A forma geral é
\Delta U = Q + W_{\text{shaft}} - W_b,
onde:
  • \Delta U é a variação da energia interna do ar;
  • Q é o calor transferido para o sistema (positivo quando entra);
  • W_{\text{shaft}} é o trabalho de eixo realizado SOBRE o fluido pelo agitador (positivo se o agitador faz trabalho no fluido);
  • W_b é o trabalho de fronteira (trabalho de deslocamento do pistão) realizado PELO sistema (positivo quando o sistema realiza trabalho).
Vou explicar cada termo quando necessário ao longo dos próximos passos.

Passo 3

Para um gás ideal (aproximação usual para o ar nessas condições) vale:
\Delta U = m c_v \Delta T,
W_b = P\Delta V = m R \Delta T,
onde:
  • m é a massa (já dada);
  • c_v é a capacidade calorífica à volume constante (unidade \mathrm{kJ/(kg\cdot K)});
  • R é a constante específica do gás (para o ar);
  • \Delta T = T_2 - T_1.
Também é útil a relação entre capacidades caloríficas para gás ideal:
c_p - c_v = R,
com c_p a capacidade calorífica à pressão constante.

Passo 4

Adotamos valores usuais constantes para o ar (válidos aproximadamente nessa faixa de temperatura):
c_v = 0{,}718\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\qquad R = 0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
(Se preferir, c_p = c_v + R = 1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.)

Passo 5

Calcule a variação de temperatura:
\Delta T = T_2 - T_1 = 450 - 320 = 130\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Calcule a variação de energia interna \Delta U:
\Delta U = m c_v \Delta T = 0{,}2 \times 0{,}718 \times 130.
Fazendo as contas em etapas:
0{,}718 \times 130 = 93{,}34\\ \mathrm{kJ/kg},
\Delta U = 0{,}2 \times 93{,}34 = 18{,}668\\ \mathrm{kJ}.

Passo 7

Calcule o trabalho de deslocamento do pistão W_b pela fórmula W_b = m R \Delta T:
W_b = 0{,}2 \times 0{,}287 \times 130.
Fazendo as contas:
0{,}287 \times 130 = 37{,}31\\ \mathrm{kJ/kg},
W_b = 0{,}2 \times 37{,}31 = 7{,}462\\ \mathrm{kJ}.

Passo 8

Verificação física e papel do agitador: num processo a pressão constante, se não houvesse trabalho de eixo, o calor necessário para aumentar a temperatura em \Delta T seria Q = m c_p \Delta T = \Delta U + W_b. Calculando:
\Delta U + W_b = 18{,}668 + 7{,}462 = 26{,}13\\ \mathrm{kJ}.
Mas o enunciado diz que o calor fornecido foi Q=20\\ \mathrm{kJ}, valor menor. Isso indica que houve trabalho de eixo realizado SOBRE o fluido pelo agitador, W_{\text{shaft}}, que contribuiu para a elevação de energia. Podemos calcular esse trabalho de eixo usando a 1ª Lei rearranjada:
W_{\text{shaft}} = \Delta U + W_b - Q = 18{,}668 + 7{,}462 - 20 = 6{,}130\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação: o agitador forneceu cerca de 6{,}13\\ \mathrm{kJ} ao fluido, de modo que, somando esse trabalho ao calor 20\\ \mathrm{kJ}, obtemos a energia necessária para \Delta U e para o trabalho de fronteira.

Passo 9

O trabalho pedido no enunciado é o trabalho para deslocar o pistão, isto é W_b, que calculamos no Passo 7.

Resposta

W_b = 7{,}46\\ \mathrm{kJ}

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