[ ] Questão 3 ( \mathbf{2 , 5} pontos) Um quilograma de gelo é removido de um congelador a -15^{\circ} \mathrm{C} e aquecido, até converter-se totalmente em vapor, a 100^{\circ} \mathrm{C}.
a) Qual a quantidade de calor, em unidade do SI, absorvida pelo gelo nesse processo? ( 1,0 )
b) Qual é a variação de entropia do universo, em unidade do SI, se o calor foi cedido devido ao contato térmico com uma fonte a 200^{\circ} \mathrm{C} ?(1,5)
Dados: O calor específico do gelo é de 0,5 \mathrm{cal} / \mathrm{g}{ }^{\circ} \mathrm{C}; o calor específico da água é de 1,0 \mathrm{cal} / \mathrm{g}{ }^{\circ} \mathrm{C}; o calor latente de fusão do gelo é de 80 \mathrm{cal} / \mathrm{g}, e o calor latente de vaporização da água é de 540 \mathrm{cal} / \mathrm{g}.

Passo 1

O enunciado dá um quilograma de gelo inicialmente a -15^\circ\mathrm{C} que é aquecido até virar vapor a 100^\circ\mathrm{C}. Perguntas:
(a) Qual a quantidade de calor absorvida pelo gelo nesse processo, em unidades do SI?
(b) Qual é a variação de entropia do universo se esse calor foi cedido por uma fonte térmica a 200^\circ\mathrm{C}?
Dados fornecidos (pegados do enunciado):
  • Massa: m = 1{,}0\\ \mathrm{kg} = 1000\\ \mathrm{g}.
  • Calor específico do gelo: c_{\text{gelo}} = 0{,}5\\ \mathrm{cal}\,\mathrm{g}^{-1}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Calor específico da água líquida: c_{\text{água}} = 1{,}0\\ \mathrm{cal}\,\mathrm{g}^{-1}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.á
  • Calor latente de fusão: L_f = 80\\ \mathrm{cal}\,\mathrm{g}^{-1}.
  • Calor latente de vaporização: L_v = 540\\ \mathrm{cal}\,\mathrm{g}^{-1}.
  • Conversão: 1\\ \mathrm{cal} = 4{,}186\\ \mathrm{J}.
  • Temperaturas relevantes (para entropia, usar Kelvin):
    • Estado inicial gelo: T_{i} = -15^\circ\mathrm{C} = 258{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Fusao/água líquida: T_{\text{fus}} = 0^\circ\mathrm{C} = 273{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Ebulição/vapor: T_{\text{vap}} = 100^\circ\mathrm{C} = 373{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Fonte: T_{\text{fonte}} = 200^\circ\mathrm{C} = 473{,}15\\ \mathrm{K}.
O processo pode ser dividido em quatro etapas sequenciais (cada uma com seu calor):
  1. Aquecer o gelo de -15^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}.
  2. Fundir o gelo a 0^\circ\mathrm{C}.
  3. Aquecer a água líquida de 0^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C}.
  4. Vaporização da água a 100^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Como calcular o calor total absorvido (parte a):
Regras/ fórmulas que vamos usar:
  • Para aquecimento sem mudança de fase: \displaystyle Q = m\,c\,\Delta T, onde m é a massa (em g ou kg, consistente com c), c é o calor específico e \Delta T é a variação de temperatura (em K ou ^\circ\mathrm{C}).
  • Para mudança de fase (fusão ou vaporização) à temperatura constante: \displaystyle Q = m\,L, onde L é o calor latente (fusão ou vaporização).
  • Como os dados foram dados em \mathrm{cal/g} e queremos a resposta no SI (J), converteremos os resultados para Joules usando 1\\ \mathrm{cal} = 4{,}186\\ \mathrm{J}.
Aplicaremos a fórmula em cada etapa e somaremos os calores.

Passo 3

Calcular os calores de cada etapa em calorias (fácil de visualizar) e depois converter para Joules.
Massa em gramas: m = 1000\\ \mathrm{g}.
  1. Aquecimento do gelo de -15^\circ\mathrm{C} a 0^\circ\mathrm{C}:
Q_1 = m\,c_{\text{gelo}}\,\Delta T =1000\cdot 0{,}5\cdot(0-(-15))=1000\cdot0{,}5\cdot15=7\,500\\ \mathrm{cal}.
  1. Fusão (gelo \to água) a 0^\circ\mathrm{C}:
Q_2 = m\,L_f =1000\cdot 80=80\,000\\ \mathrm{cal}.
  1. Aquecimento da água de 0^\circ\mathrm{C} a 100^\circ\mathrm{C}:
Q_3 = m\,c_{\text{água}}\,\Delta T =1000\cdot 1{,}0\cdot(100-0)=100\,000\\ \mathrm{cal}.á
  1. Vaporização da água a 100^\circ\mathrm{C}:
Q_4 = m\,L_v =1000\cdot 540=540\,000\\ \mathrm{cal}.
Soma em calorias:
Q_{\text{total, cal}} = Q_1+Q_2+Q_3+Q_4 =7\,500+80\,000+100\,000+540\,000 =727\,500\\ \mathrm{cal}.
Converter para Joules:
Q_{\text{total}} =727\,500\cdot 4{,}186 =3\,045\,315\\ \mathrm{J}.
Explicação rápida da aritmética:
  • 727\,500\cdot 4 = 2\,910\,000\\ \mathrm{J}.
  • 727\,500\cdot 0{,}186 = 135\,315\\ \mathrm{J}.
  • Soma = 2\,910\,000+135\,315=3\,045\,315\\ \mathrm{J}.
Portanto a energia total absorvida pelo gelo até virar vapor é \,3{,}045\,315\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Como calcular a variação de entropia do universo (parte b):
Conceitos e fórmulas:
  • Entropia elementar para uma transferência reversível de calor: \displaystyle dS=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
  • Para aquecimento reversível com calor específico constante em um corpo de massa m e calor específico c:
\Delta S = m\,c\ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right),
onde T_i e T_f são temperaturas em Kelvin.
  • Para mudança de fase a temperatura constante T:
\Delta S = \frac{Q_{\text{fase}}}{T}.
  • A variação total de entropia do universo é
\Delta S_{\text{universo}}=\Delta S_{\text{sistema}}+\Delta S_{\text{fonte}}.
  • A fonte térmica fornece calor Q_{\text{fonte}} = -Q_{\text{absorvido pelo sistema}}. Assim,
\Delta S_{\text{fonte}} = -\frac{Q_{\text{total}}}{T_{\text{fonte}}}
assumindo que a fonte permanece a temperatura constante T_{\text{fonte}}=473{,}15\\ \mathrm{K}.
Vamos calcular \Delta S_{\text{sistema}} somando as contribuições de cada etapa (aquecimento reversível interno + trocas de fase) usando Joules e Kelvin.

Passo 5

Cálculo de \Delta S_{\text{sistema}} etapa a etapa. Primeiro, converter os calores específicos para SI por massa de 1{,}0\\ \mathrm{kg}:
  • c_{\text{gelo}} =0{,}5\\ \mathrm{cal}\,\mathrm{g}^{-1}\,\!^\circ\mathrm{C}^{-1} =0{,}5\cdot 4{,}186\\ \mathrm{J}\,\mathrm{g}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1} =2{,}093\\ \mathrm{J}\,\mathrm{g}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}.
Em unidades por quilograma (mais prático com m=1\\ \mathrm{kg}):
c_{\text{gelo}}=2{,}093\\ \mathrm{J}\,\mathrm{g}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}=2{,}093\cdot1000=2\,093\\ \mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}.
  • c_{\text{água}} =1{,}0\\ \mathrm{cal}\,\mathrm{g}^{-1}\,\!^\circ\mathrm{C}^{-1} =1{,}0\cdot4{,}186=4{,}186\\ \mathrm{J}\,\mathrm{g}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1} =4\,186\\ \mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}.á
Agora as contribuições:
  1. Aquecimento do gelo: \displaystyle \Delta S_1 = m\,c_{\text{gelo}}\ln\!\left(\frac{T_{\text{fus}}}{T_i}\right).
\Delta S_1 =1\cdot 2\,093\cdot \ln\!\left(\frac{273{,}15}{258{,}15}\right).
Calcular a razão e o logaritmo:
\frac{273{,}15}{258{,}15}\approx 1{,}058214,\qquad \ln(1{,}058214)\approx 0{,}056607.
\Delta S_1 \approx 2\,093\cdot 0{,}056607 \approx 118{,}6\\ \mathrm{J/K}.
  1. Fusão a 273{,}15\\ \mathrm{K}: \displaystyle \Delta S_2 = \frac{Q_2}{T_{\text{fus}}}.
  • Convertendo Q_2 para Joules: Q_2=80\,000\\ \mathrm{cal}\cdot 4{,}186 = 334\,880\\ \mathrm{J}.
\Delta S_2 = \frac{334\,880}{273{,}15}\approx 1\,226{,}2\\ \mathrm{J/K}.
  1. Aquecimento da água líquida de 273{,}15\\ \mathrm{K} a 373{,}15\\ \mathrm{K}:
\Delta S_3 = m\,c_{\text{água}}\ln\!\left(\frac{373{,}15}{273{,}15}\right) =1\cdot 4\,186\cdot \ln(1{,}3663).á
\ln(1{,}3663)\approx 0{,}3118,\qquad \Delta S_3\approx 4\,186\cdot 0{,}3118 \approx 1\,305{,}4\\ \mathrm{J/K}.
  1. Vaporização a 373{,}15\\ \mathrm{K}: \displaystyle \Delta S_4 = \frac{Q_4}{T_{\text{vap}}}.
  • Converter Q_4 para Joules: Q_4=540\,000\\ \mathrm{cal}\cdot 4{,}186 = 2\,260\,440\\ \mathrm{J}.
\Delta S_4 = \frac{2\,260\,440}{373{,}15}\approx 6\,057{,}7\\ \mathrm{J/K}.
Somando as contribuições do sistema:
\Delta S_{\text{sistema}} = \Delta S_1+\Delta S_2+\Delta S_3+\Delta S_4 \approx 118{,}6 + 1\,226{,}2 + 1\,305{,}4 + 6\,057{,}7 \approx 8\,707{,}9\\ \mathrm{J/K}.

Passo 6

Cálculo da variação de entropia da fonte (visto que a fonte fornece calor Q_{\text{total}} a temperatura constante T_{\text{fonte}}):
  • Calor total fornecido pela fonte (negativo para a fonte): Q_{\text{fonte}} = -Q_{\text{total}} = -3\,045\,315\\ \mathrm{J}.
  • Portanto
\Delta S_{\text{fonte}} = \frac{Q_{\text{fonte}}}{T_{\text{fonte}}} = -\frac{3\,045\,315}{473{,}15}\\ \mathrm{J/K} \approx -6\,436{,}6\\ \mathrm{J/K}.
Agora a entropia do universo:
\Delta S_{\text{universo}} = \Delta S_{\text{sistema}} + \Delta S_{\text{fonte}} \approx 8\,707{,}9 - 6\,436{,}6 = 2\,271{,}3\\ \mathrm{J/K}.
Interpretação breve (motivacional): o incremento positivo de entropia do universo indica que o processo é irreversível (transferência de calor entre corpos a temperaturas diferentes), como esperado — bom sinal, termodinâmica está se comportando direito!

Resposta

(a) Q = 3\,045\,315\\ \mathrm{J}
(b) \Delta S_{\text{universo}} = 2\,271{,}3\\ \mathrm{J/K}

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