Questão 2 (
pts): Uma esfera de bronze sólida com módulo de elasticidade volumétrico
igual a 100 GPa é subitamente aquecida por toda sua superficie externa. A tendència da parte aquecida da esfera de expandir-se produz tração uniforme em todas as direções a partir do centro da esfera. Se a tensão no centro for de 80 MPa , determine:
a) As deformações na esfera;
b) A variação volumétrica por unidade de volume;
c) A densidade da energia de deformação no centro.
a) As deformações na esfera;
b) A variação volumétrica por unidade de volume;
c) A densidade da energia de deformação no centro.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- Dado: o módulo de elasticidade volumétrico
da esfera é . - Dado: a tensão no centro da esfera é uniforme em todas as direções e vale
. Isto significa que no ponto considerado as componentes principais da tensão são iguais: . - Perguntas:
a) Determinar as deformações (componentes de deformação normal) na esfera no centro.
b) Determinar a variação volumétrica por unidade de volumeno centro.
c) Determinar a densidade de energia de deformação (energia por unidade de volume) no centro.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
- A relação linear elástica entre tensões e deformações para um material isotrópico (forma de Hooke tridimensional) para as deformações normais é
onde:
-
é a deformação normal na direção ; -
é o módulo de Young (módulo de elasticidade); -
é o coeficiente de Poisson; -
são as tensões normais nas direções . - Quando as três tensões são iguais (
), pela simetria cada deformação normal é igual. Substituindo na fórmula:
- O módulo de compressibilidade (módulo volumétrico)
está ligado a e pela relação clássica da elasticidade isotrópica:
Essa fórmula significa que
mede a resistência do material a mudanças de volume sob uma pressão hidroestática.
Passo 3
Usando a relação entre
e
para simplificar a expressão da deformação:
- Substituímos
na expressão . Fazendo a conta:
Observação importante: o fator
cancela; portanto, para um estado de tensão hidroestático idéntico em todas as direções a deformação normal em cada direção depende apenas de
e de
, e não de
.
- Então cada componente de deformação no centro é
Agora calculamos numericamente:
e
. Portanto
Passo 4
Variação volumétrica por unidade de volume:
- A variação volumétrica relativa (deformação volumétrica) é a soma das três deformações normais:
- Usando
obtemos
- Substituindo numericamente:
(Isto tem sinal positivo porque uma tensão de tração hidroestática positiva provoca expansão volumétrica positiva.)
Passo 5
Densidade de energia de deformação no centro:
- Para um estado elástico linear, a densidade de energia (energia elástica por unidade de volume) pode ser escrita em termos de tensões e deformações como
- No caso isotrópico com
e , isso vira
- Substituindo
resulta numa forma muito simples:
- Agora o cálculo numérico:
. Dividindo por dá
Passo 6
Resumo final dos resultados (vou deixar a resposta final propriamente dita só no campo pedido abaixo). Lembre-se: valores numéricos apresentados usam notação científica e unidades do Sistema Internacional; mantenha a calma — os passos são mecânicos e repetíveis na prova.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)