Questão 2 ( \mathbf{3 , 0} pts): Uma esfera de bronze sólida com módulo de elasticidade volumétrico K igual a 100 GPa é subitamente aquecida por toda sua superficie externa. A tendència da parte aquecida da esfera de expandir-se produz tração uniforme em todas as direções a partir do centro da esfera. Se a tensão no centro for de 80 MPa , determine:
a) As deformações na esfera;
b) A variação volumétrica por unidade de volume;
c) A densidade da energia de deformação no centro.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dado: o módulo de elasticidade volumétrico K da esfera é 100\\ \mathrm{GPa}.
  • Dado: a tensão no centro da esfera é uniforme em todas as direções e vale 80\\ \mathrm{MPa}. Isto significa que no ponto considerado as componentes principais da tensão são iguais: \sigma_x=\sigma_y=\sigma_z=\sigma=80\\ \mathrm{MPa}.
  • Perguntas:
    a) Determinar as deformações (componentes de deformação normal) na esfera no centro.
    b) Determinar a variação volumétrica por unidade de volume \Delta V/V no centro.
    c) Determinar a densidade de energia de deformação (energia por unidade de volume) no centro.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
  • A relação linear elástica entre tensões e deformações para um material isotrópico (forma de Hooke tridimensional) para as deformações normais é
\varepsilon_x=\frac{1}{E}\big(\sigma_x-\nu(\sigma_y+\sigma_z)\big),
onde:
  • \varepsilon_x é a deformação normal na direção x;
  • E é o módulo de Young (módulo de elasticidade);
  • \nu é o coeficiente de Poisson;
  • \sigma_x,\sigma_y,\sigma_z são as tensões normais nas direções x,y,z.
  • Quando as três tensões são iguais ( \sigma_x=\sigma_y=\sigma_z=\sigma), pela simetria cada deformação normal é igual. Substituindo na fórmula:
\varepsilon_x=\frac{1}{E}\big(\sigma-\nu(\sigma+\sigma)\big)=\frac{1}{E}\big(\sigma-2\nu\sigma\big)=\frac{1-2\nu}{E}\,\sigma.
  • O módulo de compressibilidade (módulo volumétrico) K está ligado a E e \nu pela relação clássica da elasticidade isotrópica:
K=\frac{E}{3(1-2\nu)}.
Essa fórmula significa que K mede a resistência do material a mudanças de volume sob uma pressão hidroestática.

Passo 3

Usando a relação entre E e K para simplificar a expressão da deformação:
  • Substituímos E=3K(1-2\nu) na expressão \varepsilon_x=\frac{1-2\nu}{E}\sigma. Fazendo a conta:
\varepsilon_x=\frac{1-2\nu}{3K(1-2\nu)}\,\sigma=\frac{\sigma}{3K}.
Observação importante: o fator (1-2\nu) cancela; portanto, para um estado de tensão hidroestático idéntico em todas as direções a deformação normal em cada direção depende apenas de \sigma e de K, e não de \nu.
  • Então cada componente de deformação no centro é
\varepsilon_r=\varepsilon_\theta=\varepsilon_\varphi=\frac{\sigma}{3K}.
Agora calculamos numericamente: \sigma=80\\ \mathrm{MPa}=80\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} e K=100\\ \mathrm{GPa}=100\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}. Portanto
\varepsilon=\frac{80\times10^{6}}{3\cdot100\times10^{9}}=\frac{80}{300000}=2{,}666\ldots\times10^{-4}.

Passo 4

Variação volumétrica por unidade de volume:
  • A variação volumétrica relativa (deformação volumétrica) é a soma das três deformações normais:
\frac{\Delta V}{V}=\varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z=3\varepsilon.
  • Usando \varepsilon=\sigma/(3K) obtemos
\frac{\Delta V}{V}=3\cdot\frac{\sigma}{3K}=\frac{\sigma}{K}.
  • Substituindo numericamente:
\frac{\Delta V}{V}=\frac{80\times10^{6}}{100\times10^{9}}=8{,}0\times10^{-4}.
(Isto tem sinal positivo porque uma tensão de tração hidroestática positiva provoca expansão volumétrica positiva.)

Passo 5

Densidade de energia de deformação no centro:
  • Para um estado elástico linear, a densidade de energia (energia elástica por unidade de volume) pode ser escrita em termos de tensões e deformações como
u=\tfrac{1}{2}\big(\sigma_x\varepsilon_x+\sigma_y\varepsilon_y+\sigma_z\varepsilon_z\big).
  • No caso isotrópico com \sigma_x=\sigma_y=\sigma_z=\sigma e \varepsilon_x=\varepsilon_y=\varepsilon_z=\varepsilon, isso vira
u=\tfrac{1}{2}\cdot 3\sigma\varepsilon=\tfrac{3}{2}\sigma\varepsilon.
  • Substituindo \varepsilon=\sigma/(3K) resulta numa forma muito simples:
u=\frac{\sigma^{2}}{2K}.
  • Agora o cálculo numérico: \sigma^{2}=(80\times10^{6})^{2}=6{,}4\times10^{15}\\ \mathrm{Pa^{2}}. Dividindo por 2K=2\cdot100\times10^{9}=2{,}0\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}
u=\frac{6{,}4\times10^{15}}{2{,}0\times10^{11}}=3{,}2\times10^{4}\\ \mathrm{J/m^{3}}.

Passo 6

Resumo final dos resultados (vou deixar a resposta final propriamente dita só no campo pedido abaixo). Lembre-se: valores numéricos apresentados usam notação científica e unidades do Sistema Internacional; mantenha a calma — os passos são mecânicos e repetíveis na prova.

Resposta

(a) \varepsilon_r=\varepsilon_\theta=\varepsilon_\varphi=2{,}667\times10^{-4}
(b) \dfrac{\Delta V}{V}=8{,}0\times10^{-4}
(c) u=3{,}20\times10^{4}\\ \mathrm{J/m^{3}}

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