QUESTÃO 6)
O recalque total de um edifício, devido ao adensamento de uma camada de argila drenada pelas duas faces, é estimado em 10 cm . Admitindo-se que a carga seja aplicada instantaneamente, pede-se calcular os tempos (em dias) necessários para que sejam atingidos recalques de:
8 cm (último número da matrícula) e
2 cm (penúltimo número da matrícula), sendo dados:
- Espessura total da camada de argila: 6 m
- Coeficiente de adensamento
Passo 1
O enunciado pede para calcular os tempos necessários para que ocorram recalques parciais de uma camada de argila drenada pelas duas faces, sabendo que o recalque total é
e que a carga é aplicada instantaneamente. Especificamente pede-se os tempos para atingir:
- recalque de
(último número da matrícula); - recalque de
(penúltimo número da matrícula).
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Passo 2
Entendimento do que precisamos calcular (sem resolver ainda): para cada recalque parcial
dado, devemos obter o grau de adensamento (fração do total) e, a partir dele, obter o tempo
necessário. Vou transformar os dados numéricos em quantidades que usarei nas fórmulas:
Logo:
Passo 3
Definição das variáveis físicas e da fórmula que liga tempo e grau de adensamento.
- Em problemas de adensamento unidimensional com drenagem por duas faces, usa-se o fator de tempo adimensional
definido por
onde:
-
é o coeficiente de adensamento (unidade de comprimento /tempo), -
é o tempo real (tempo que queremos achar), -
é o caminho de drenagem (a metade da espessura quando a drenagem ocorre pelas duas faces).
A relação exata entre o grau de adensamento
e o fator de tempo
é dada por uma série (série de Fourier). Para drenagem por duas faces a expressão usada é:
Explicando: cada termo da soma representa modos de dissipação de pressão; para calcular numericamente
correspondente a um
é comum usar os primeiros termos da soma (os primeiros termos dominam) e resolver numericamente.
Passo 4
Calcular as quantidades geométricas e converter unidades para consistência:
- A espessura total é
. Para drenagem por duas faces, o caminho de drenagem é a metade:
(Convertemos para
porque
está em
.)
- O coeficiente dado é
A fórmula direta para o tempo, isolando
, é
Vou calcular
para cada
e depois usar essa fórmula.
Passo 5
Cálculo de
para
(recalque de
) usando a aproximação pela primeira parcela da série (método usual quando
é relativamente grande).
A série é
com
Para
temos
Quando
é alto (por exemplo
), os termos de
tornam-se muito pequenos e a primeira parcela domina. Assim, aproximamos:
Isolando
:
Agora aplico com
:
Substituindo:
Faço as contas passo a passo:
portanto
(Observação: esta aproximação com o primeiro termo dá um valor bastante preciso para
porque os termos seguintes na série são desprezíveis.)
Passo 6
Transformar
em tempo real para
.
Usando
com
,
,
:
Calculo:
Converto para dias:
Arredondando a uma precisão razoável:
. (Se quiser:
.)
Passo 7
Cálculo de
para
(recalque de
). Aqui
é pequeno e a aproximação por um único termo não é precisa; portanto uso a soma dos primeiros termos e faço uma solução numérica (iteração) para
.
Vou usar os três primeiros termos (
) da soma:
Calculo os coeficientes:
e
Queremos:
Faço uma busca numérica (avalio
para alguns valores de
e ajusto) — mostro os passos rápidos da iteração:
-
: (maior que ). -
: (ainda maior). -
: (ainda um pouco maior). -
: (agora menor que ).
Interpolando entre
e
obtenho
que dá
. Portanto:
Passo 8
Transformar
em tempo real para
.
Usando os mesmos
e
:
Calculando:
Converto para dias:
Ou seja, aproximadamente
(ou
).
Passo 9
Resumo numérico e interpretação (curto e motivador): para esta camada de
com
, o adensamento é bastante lento: atingir
do recalque total leva centenas de dias (
dias), enquanto
exige apenas algumas semanas/dias (
dias). Isso faz sentido fisicamente: no início a água sai relativamente rápido, depois a dissipação final é lenta.
Resposta
8 cm:
2 cm:
2 cm: