QUESTÃO 6) (\mathbf{1 , 0}) O recalque total de um edifício, devido ao adensamento de uma camada de argila drenada pelas duas faces, é estimado em 10 cm . Admitindo-se que a carga seja aplicada instantaneamente, pede-se calcular os tempos (em dias) necessários para que sejam atingidos recalques de: \_\_\_\_ 8 cm (último número da matrícula) e \_\_\_\_ 2 cm (penúltimo número da matrícula), sendo dados:
  • Espessura total da camada de argila: 6 m
  • Coeficiente de adensamento =25 \times 10^{-4} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{seg}

Passo 1

O enunciado pede para calcular os tempos necessários para que ocorram recalques parciais de uma camada de argila drenada pelas duas faces, sabendo que o recalque total é \,10\\ \mathrm{cm} e que a carga é aplicada instantaneamente. Especificamente pede-se os tempos para atingir:
  • recalque de \,8\\ \mathrm{cm} (último número da matrícula);
  • recalque de \,2\\ \mathrm{cm} (penúltimo número da matrícula).
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{espessura total da camada} = 6\\ \mathrm{m},\\\ &\text{coeficiente de adensamento} = 25\times 10^{-4}\\ \mathrm{cm^{2}/s},\\\ &\text{recalque total} = 10\\ \mathrm{cm},\\\ &\text{recalques parciais pedidos: }8\\ \mathrm{cm}\\ \text{e}\\\ 2\\ \mathrm{cm}. \end{aligned}

Passo 2

Entendimento do que precisamos calcular (sem resolver ainda): para cada recalque parcial s dado, devemos obter o grau de adensamento (fração do total) e, a partir dele, obter o tempo t necessário. Vou transformar os dados numéricos em quantidades que usarei nas fórmulas:
\text{grau de adensamento }U=\frac{\text{recalque parcial }s}{\text{recalque total }S}.
Logo:
U_{8}=\frac{8}{10}=0,8,\qquad U_{2}=\frac{2}{10}=0,2.

Passo 3

Definição das variáveis físicas e da fórmula que liga tempo e grau de adensamento.
  • Em problemas de adensamento unidimensional com drenagem por duas faces, usa-se o fator de tempo adimensional \,T_v definido por
T_v=\frac{c_v\,t}{H_d^{2}},
onde:
  • \,c_v é o coeficiente de adensamento (unidade de comprimento ^2/tempo),
  • \,t é o tempo real (tempo que queremos achar),
  • \,H_d é o caminho de drenagem (a metade da espessura quando a drenagem ocorre pelas duas faces).
A relação exata entre o grau de adensamento U e o fator de tempo T_v é dada por uma série (série de Fourier). Para drenagem por duas faces a expressão usada é:
U = 1 - \sum_{m=0}^{\infty} \frac{8}{(2m+1)^2\pi^2}\,\exp\!\left(-\frac{(2m+1)^2\pi^2}{4}\,T_v\right).
Explicando: cada termo da soma representa modos de dissipação de pressão; para calcular numericamente T_v correspondente a um U é comum usar os primeiros termos da soma (os primeiros termos dominam) e resolver numericamente.

Passo 4

Calcular as quantidades geométricas e converter unidades para consistência:
  • A espessura total é \,6\\ \mathrm{m}. Para drenagem por duas faces, o caminho de drenagem é a metade:
H_d=\frac{6\\ \mathrm{m}}{2}=3\\ \mathrm{m}=300\\ \mathrm{cm}.
(Convertemos para \mathrm{cm} porque \,c_v está em \mathrm{cm^2/s}.)
  • O coeficiente dado é
c_v = 25\times 10^{-4}\\ \mathrm{cm^2/s} = 0{,}0025\\ \mathrm{cm^2/s}.
A fórmula direta para o tempo, isolando t, é
t = \frac{T_v\,H_d^{2}}{c_v}.
Vou calcular T_v para cada U e depois usar essa fórmula.

Passo 5

Cálculo de T_v para U=0{,}8 (recalque de \,8\\ \mathrm{cm}) usando a aproximação pela primeira parcela da série (método usual quando U é relativamente grande).
A série é
U = 1 - \sum_{m=0}^{\infty} A_m e^{-B_m T_v},
com
A_m=\frac{8}{(2m+1)^2\pi^2},\qquad B_m=\frac{(2m+1)^2\pi^2}{4}.
Para m=0 temos
A_0=\frac{8}{\pi^2},\qquad B_0=\frac{\pi^2}{4}.
Quando U é alto (por exemplo U\ge 0{,}6), os termos de m\ge1 tornam-se muito pequenos e a primeira parcela domina. Assim, aproximamos:
1-U \approx A_0 e^{-B_0 T_v}.
Isolando T_v:
e^{-B_0 T_v} \approx \frac{1-U}{A_0}\quad\Rightarrow\quad T_v \approx -\frac{1}{B_0}\,\ln\!\left(\frac{1-U}{A_0}\right).
Agora aplico com U=0{,}8:
1-U=0{,}2,\qquad A_0=\frac{8}{\pi^2},\qquad B_0=\frac{\pi^2}{4}.
Substituindo:
T_v \approx -\frac{4}{\pi^2}\,\ln\!\left(\frac{\pi^2}{8}\cdot 0{,}2\right).
Faço as contas passo a passo:
\frac{\pi^2}{8}\approx\frac{9{,}8696}{8}\approx 1{,}2337,
\frac{\pi^2}{8}\cdot 0{,}2\approx 0{,}24674,
\ln(0{,}24674)\approx -1{,}397,
-\frac{4}{\pi^2}\approx -\frac{4}{9{,}8696}\approx -0{,}4053,
portanto
T_v \approx 0{,}4053\times 1{,}397 \approx 0{,}566.
(Observação: esta aproximação com o primeiro termo dá um valor bastante preciso para U=0{,}8 porque os termos seguintes na série são desprezíveis.)

Passo 6

Transformar T_v em tempo real para U=0{,}8.
Usando
t=\frac{T_v H_d^{2}}{c_v},
com T_v\approx 0{,}566, H_d=300\\ \mathrm{cm}, c_v=0{,}0025\\ \mathrm{cm^2/s}:
H_d^{2}=300^2=90{,}000\\ \mathrm{cm^2},
t = \frac{0{,}566\times 90{,}000}{0{,}0025}\\ \mathrm{s}.
Calculo:
\frac{90{,}000}{0{,}0025}=90{,}000\times 400=36{,}000{,}000,
t=0{,}566\times 36{,}000{,}000=20{,}376{,}000\\ \mathrm{s}.
Converto para dias:
1\\ \text{dia}=86{,}400\\ \mathrm{s},\qquad t_{\text{dias}}=\frac{20{,}376{,}000}{86{,}400}\approx 235{,}833\\ \text{dias}.
Arredondando a uma precisão razoável: \approx 236\\ \text{dias}. (Se quiser: \,235{,}83\\ \text{dias}.)

Passo 7

Cálculo de T_v para U=0{,}2 (recalque de \,2\\ \mathrm{cm}). Aqui U é pequeno e a aproximação por um único termo não é precisa; portanto uso a soma dos primeiros termos e faço uma solução numérica (iteração) para T_v.
Vou usar os três primeiros termos ( m=0,1,2) da soma:
\sum_{m=0}^{2} A_m e^{-B_m T_v}=1-U.
Calculo os coeficientes:
A_0=\frac{8}{\pi^2}\approx 0{,}81057,\quad A_1=\frac{8}{9\pi^2}\approx 0{,}09006,\quad A_2=\frac{8}{25\pi^2}\approx 0{,}03242.
e
B_0=\frac{\pi^2}{4}\approx 2{,}4674,\quad B_1=\frac{9\pi^2}{4}\approx 22{,}2066,\quad B_2\approx 61{,}685.
Queremos:
S(T_v)=\sum_{m=0}^{2} A_m e^{-B_m T_v}=1-U=0{,}8.
Faço uma busca numérica (avalio S(T_v) para alguns valores de T_v e ajusto) — mostro os passos rápidos da iteração:
  • T_v=0{,}01: S\approx 0{,}8806 (maior que 0{,}8).
  • T_v=0{,}02: S\approx 0{,}8389 (ainda maior).
  • T_v=0{,}03: S\approx 0{,}8042 (ainda um pouco maior).
  • T_v=0{,}032: S\approx 0{,}7980 (agora menor que 0{,}8).
Interpolando entre 0{,}031 e 0{,}032 obtenho T_v\approx 0{,}0315 que dá S\approx 0{,}8. Portanto:
T_v\approx 0{,}0315\qquad\text{(para }U=0{,}2\text{).}

Passo 8

Transformar T_v em tempo real para U=0{,}2.
Usando os mesmos H_d e c_v:
t=\frac{T_v H_d^{2}}{c_v}=\frac{0{,}0315\times 90{,}000}{0{,}0025}\\ \mathrm{s}.
Calculando:
t=0{,}0315\times 36{,}000{,}000=1{,}134{,}000\\ \mathrm{s}.
Converto para dias:
t_{\text{dias}}=\frac{1{,}134{,}000}{86{,}400}=13{,}125\\ \text{dias}.
Ou seja, aproximadamente \,13{,}13\\ \text{dias} (ou \,13\\ \text{dias e }3\\ \text{horas}).

Passo 9

Resumo numérico e interpretação (curto e motivador): para esta camada de \,6\\ \mathrm{m} com \,c_v=25\times 10^{-4}\\ \mathrm{cm^2/s}, o adensamento é bastante lento: atingir 80\% do recalque total leva centenas de dias ( \sim236 dias), enquanto 20\% exige apenas algumas semanas/dias ( \sim13{,}1 dias). Isso faz sentido fisicamente: no início a água sai relativamente rápido, depois a dissipação final é lenta.

Resposta

8 cm: 235{,}83\\ \text{dias}
2 cm: 13{,}125\\ \text{dias}

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