Questão 3. Mostre que, para um sistema criticamente amortecido, a solução da equação 
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, em um sistema criticamente amortecido descrito pela equação diferencial 
Aqui, vamos usar conceitos de sistemas dinâmicos e equações diferenciais de segunda ordem. Precisamos conhecer sobre amortecimento crítico, frequências naturais e resolver equações diferenciais homogêneas com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um sistema criticamente amortecido. Em um sistema massa-mola-amortecedor, o amortecimento crítico acontece quando o coeficiente de amortecimento 
Isso nos garante que a equação diferencial terá raízes reais e iguais, o que é característico para soluções criticamente amortecidas.
Passo 3
Vamos reescrever a equação diferencial padrão:
Para facilitar, dividimos toda a equação por 
Aqui, 
Passo 4
Substituindo 
A condição de amortecimento crítico 
Passo 5
Para resolver essa equação diferencial com raízes reais e iguais, assumimos uma solução do tipo:
Onde 
Passo 6
Aplicando a condição inicial 
Então, 
Passo 7
Agora, vamos derivar 
Simplificando:
Aplicando a condição 
Então, 
Passo 8
Substituindo 
Isso confirma que a solução para o sistema criticamente amortecido é exatamente como foi pedido no enunciado.
Resposta
A solução da equação para um sistema criticamente amortecido é:
