Questão n^circ 4

Obtenha a equação de onda para o campo elétrico E a partir das equações de Maxwell em um meio dielétrico linear e homogêneo (com permissividade elétrica varepsilon e permeabilidade magnética mu ), ôhmico (com condutividade elétrica g, sendo Jf=g E) e na ausência de cargas externas (rhof=0).

Passo 1

O enunciado pede para obter a equação de onda para o campo elétrico E em um meio linear, homogêneo e ôhmico (permissividade varepsilon, permeabilidade mu, condutividade g), sem cargas livres ( rhof=0) e com corrente livre Jf=gE. Vamos usar as equações de Maxwell no vácuo modificado pelo meio e as relações constitutivas
D=varepsilonE e B=muH.

Passo 2

Escrevemos as equações de Maxwell relevantes:
Faraday
nablatimesE = -partialBpartial t
Ampère–Maxwell
nablatimesH = Jf + partialDpartial t
Substituindo Jf=gE e D=varepsilonE em Ampère–Maxwell, obtemos
nablatimesH = g,E + varepsilon,partialEpartial t

Passo 3

Tomamos o rotacional da equação de Faraday e usamos B=muH:
nablatimes(nablatimesE) = -partialpartial t(nablatimesB) = -mu,partialpartial t(nablatimesH)
Agora substituímos nablatimesH da etapa anterior no lado direito.

Passo 4

Usamos a identidade vetorial
nablatimes(nablatimesE) = nabla(nablacdotE) - nabla^2E
e, como não há cargas livres, nablacdotD=0RightarrownablacdotE=0. Logo
nablatimes(nablatimesE) = -nabla^2E
No lado direito, ao diferenciar em relação a t, surge
-nabla^2E = -mu,partialpartial tl(g,E + varepsilon,partialtEr) = -mu,g,partialEpartial t -mu,varepsilon,partial^2Epartial t^2

Passo 5

Multiplicando por -1, chegamos à equação de onda atenuada para o campo elétrico:
nabla^2E - mu,varepsilon,partial^2Epartial t^2 - mu,g,partialEpartial t = 0

Resposta

nabla^2E - mu,varepsilon,partial^2Epartial t^2 - mu,g,partialEpartial t = 0

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