Questão 5 Uma partícula move-se ao longo do eixo x, com posição dada por
x(t)=\ln \left(t^{2}+3 t+2\right)
Determine:
(a) a velocidade v(t);
(b) a aceleração a(t);
(c) o valor numérico de a(1).
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula ao longo do eixo x como
x(t)=\ln\left(t^{2}+3t+2\right).
Pede-se:
(a) a velocidade v(t), isto é, a derivada de x(t) em relação a t;
(b) a aceleração a(t), isto é, a derivada de v(t) em relação a t;
(c) o valor numérico de a(1).
Informações relevantes dadas:
x(t)=\ln\left(t^{2}+3t+2\right).
Observação útil (vem do enunciado): a função \ln(\cdot) exige que o argumento seja positivo, então a expressão só faz sentido para valores de t tais que t^{2}+3t+2>0. (Isto será importante se você precisar checar pontos de domínio na prova.)
Passo 2
Regra que vamos usar (aula rápida e prática): derivada do logaritmo composto.
Se você tem x(t)=\ln\big(u(t)\big), onde u(t) é uma função diferenciável, a derivada é dada pela regra da cadeia:
x'(t)=\frac{u'(t)}{u(t)}.
Explicando devagar: a derivada de \ln(z) em relação a z é 1/z. Pelo efeito “função dentro de função” (regra da cadeia), multiplicamos por dz/dt, que aqui é u'(t). Exemplo simples: se x(t)=\ln(t+1), então u(t)=t+1 e u'(t)=1, logo
x'(t)=\frac{1}{t+1}.
Passo 3
Apliquemos a regra ao nosso caso. Identificamos
u(t)=t^{2}+3t+2.
Calculamos u'(t) (derivada de um polinômio): a derivada de t^{2} é 2t e a de 3t é 3, então
u'(t)=2t+3.
Portanto, pela regra do passo anterior, a velocidade é
Regra prática para derivar um quociente: regra do quociente.
Se v(t)=\dfrac{N(t)}{D(t)}, então
v'(t)=\frac{N'(t)D(t)-N(t)D'(t)}{D(t)^{2}}.
Aqui N'(t) é a derivada do numerador e D'(t) é a derivada do denominador. Você também poderia escrever v(t)=N(t)\cdot D(t)^{-1} e usar produto+cadeia; ambas dão o mesmo resultado.
Verificação rápida de domínio: para t=1 o argumento do logaritmo é 6>0, então tudo está definido.
Passo 7
Dicas de prova (rápido e amigo): memorize que \dfrac{d}{dt}\ln(u(t))=\dfrac{u'(t)}{u(t)} e pratique a regra do quociente; ao derivar quocientes, calcule separadamente N',D' e faça as contas com calma para não errar sinais. Respirar e conferir sinais no final salva bastante tempo (e pontos).