Questão 5 Uma partícula move-se ao longo do eixo x, com posição dada por
x(t)=\ln \left(t^{2}+3 t+2\right)
Determine:
(a) a velocidade v(t);
(b) a aceleração a(t);
(c) o valor numérico de a(1).

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula ao longo do eixo x como
x(t)=\ln\left(t^{2}+3t+2\right).
Pede-se:
(a) a velocidade v(t), isto é, a derivada de x(t) em relação a t;
(b) a aceleração a(t), isto é, a derivada de v(t) em relação a t;
(c) o valor numérico de a(1).
Informações relevantes dadas:
x(t)=\ln\left(t^{2}+3t+2\right).
Observação útil (vem do enunciado): a função \ln(\cdot) exige que o argumento seja positivo, então a expressão só faz sentido para valores de t tais que t^{2}+3t+2>0. (Isto será importante se você precisar checar pontos de domínio na prova.)

Passo 2

Regra que vamos usar (aula rápida e prática): derivada do logaritmo composto.
Se você tem x(t)=\ln\big(u(t)\big), onde u(t) é uma função diferenciável, a derivada é dada pela regra da cadeia:
x'(t)=\frac{u'(t)}{u(t)}.
Explicando devagar: a derivada de \ln(z) em relação a z é 1/z. Pelo efeito “função dentro de função” (regra da cadeia), multiplicamos por dz/dt, que aqui é u'(t). Exemplo simples: se x(t)=\ln(t+1), então u(t)=t+1 e u'(t)=1, logo
x'(t)=\frac{1}{t+1}.

Passo 3

Apliquemos a regra ao nosso caso. Identificamos
u(t)=t^{2}+3t+2.
Calculamos u'(t) (derivada de um polinômio): a derivada de t^{2} é 2t e a de 3t é 3, então
u'(t)=2t+3.
Portanto, pela regra do passo anterior, a velocidade é
v(t)=x'(t)=\frac{u'(t)}{u(t)}=\frac{2t+3}{t^{2}+3t+2}.

Passo 4

Agora precisamos da aceleração a(t)=v'(t). Temos uma razão (quociente) de duas funções:
v(t)=\frac{N(t)}{D(t)}\quad\text{com}\quad N(t)=2t+3,\; D(t)=t^{2}+3t+2.
Regra prática para derivar um quociente: regra do quociente.
Se v(t)=\dfrac{N(t)}{D(t)}, então
v'(t)=\frac{N'(t)D(t)-N(t)D'(t)}{D(t)^{2}}.
Aqui N'(t) é a derivada do numerador e D'(t) é a derivada do denominador. Você também poderia escrever v(t)=N(t)\cdot D(t)^{-1} e usar produto+cadeia; ambas dão o mesmo resultado.

Passo 5

Calculemos os termos necessários:
N(t)=2t+3\quad\Rightarrow\quad N'(t)=2.
D(t)=t^{2}+3t+2\quad\Rightarrow\quad D'(t)=2t+3.
Agora aplicamos a fórmula do quociente:
a(t)=v'(t)=\frac{N'(t)D(t)-N(t)D'(t)}{D(t)^{2}}=\frac{2\big(t^{2}+3t+2\big)-(2t+3)(2t+3)}{\big(t^{2}+3t+2\big)^{2}}.
Vamos desenvolver o numerador passo a passo:
Calcule 2\big(t^{2}+3t+2\big):
2t^{2}+6t+4.
Calcule (2t+3)(2t+3)=(2t+3)^{2}:
(2t+3)^{2}=4t^{2}+12t+9.
Subtraindo:
2t^{2}+6t+4-(4t^{2}+12t+9)=(2t^{2}-4t^{2})+(6t-12t)+(4-9)=-2t^{2}-6t-5.
Portanto a aceleração fica
a(t)=\frac{-2t^{2}-6t-5}{\big(t^{2}+3t+2\big)^{2}}.
Podemos escrever de forma mais compacta:
a(t)=-\frac{2t^{2}+6t+5}{\big(t^{2}+3t+2\big)^{2}}.

Passo 6

Agora calculamos o valor numérico a(1). Substituímos t=1 em a(t).
Primeiro o denominador:
t^{2}+3t+2\Big|_{t=1}=1^{2}+3\cdot1+2=1+3+2=6,
logo o quadrado é 6^{2}=36.
Agora o numerador (usando a forma já simplificada):
-2t^{2}-6t-5\Big|_{t=1}=-2\cdot1^{2}-6\cdot1-5=-2-6-5=-13.
Portanto
a(1)=\frac{-13}{36}.
Verificação rápida de domínio: para t=1 o argumento do logaritmo é 6>0, então tudo está definido.

Passo 7

Dicas de prova (rápido e amigo): memorize que \dfrac{d}{dt}\ln(u(t))=\dfrac{u'(t)}{u(t)} e pratique a regra do quociente; ao derivar quocientes, calcule separadamente N',D' e faça as contas com calma para não errar sinais. Respirar e conferir sinais no final salva bastante tempo (e pontos).

Resposta

(a) v(t)=\dfrac{2t+3}{t^{2}+3t+2}
(b) a(t)=-\dfrac{2t^{2}+6t+5}{\big(t^{2}+3t+2\big)^{2}}
(c) a(1)=-\dfrac{13}{36}