Questão 2) (4) Uma partícula se move sob a ação de um potencial unidimensional dado por U(x)=A / x^{2}+B x^{2}. (a) Calcule a força gerada por esse potencial; (b) calcule os pontos fixos; (c) esboce o gráfico do potencial; (d) esse sistema é conservativo?

Passo 1

O enunciado dá o potencial unidimensional
U(x)=\frac{A}{x^{2}}+B x^{2},
e pede quatro coisas:
(a) a força gerada por esse potencial;
(b) os pontos fixos (pontos de equilíbrio);
(c) um esboço do gráfico do potencial (comportamento geral);
(d) se o sistema é conservativo.
Informações relevantes dadas/assumidas:
  • A e B são constantes (podem ser positivas, negativas ou nulas).
  • O domínio natural da expressão quando A\neq0 exclui x=0 por causa do termo \tfrac{A}{x^{2}}.
  • A função é par: U(-x)=U(x) (útil para o esboço).
A partir daqui vamos calcular tudo passo a passo.

Passo 2

Como se obtém a força a partir do potencial (pequena aula): em uma dimensão, a força associada a um potencial U(x) é dada por
F(x) = -\frac{dU}{dx}.
Isto vem da definição de trabalho e da energia potencial: a força é o negativo do gradiente do potencial. Aqui vamos derivar U(x) termo a termo. Primeiro lembrando regra de potência: se f(x)=x^{n} então \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Para potências negativas a regra é a mesma.
Derivando U(x)=A x^{-2} + B x^{2}:
\frac{dU}{dx} = A\cdot(-2)x^{-3} + B\cdot(2)x = -\frac{2A}{x^{3}} + 2B x.
Aplicando F(x)=-\dfrac{dU}{dx} obtemos
\boxed{F(x)=\; \frac{2A}{x^{3}} - 2B x.}
Podemos também escrever fatorando 2:
F(x)=2\!\left(\frac{A}{x^{3}}-B x\right).

Passo 3

Agora vamos achar os pontos de equilíbrio (pontos fixos). Por definição, em mecânica clássica um ponto de equilíbrio é onde a força é nula, isto é F(x)=0. Usamos a expressão obtida:
\frac{2A}{x^{3}}-2B x=0.
Dividindo por 2 e rearranjando:
\frac{A}{x^{3}} = B x.
Multiplicando ambos os lados por x^{3} (lembrando que isto exige x\neq0):
A = B x^{4}.
Logo os candidatos a equilíbrios satisfazem
x^{4}=\frac{A}{B}.
Isso nos dá os seguintes casos a considerar (muito importante listar os casos para a prova):
  • Caso geral com A\neq0 e B\neq0:
    • Se \dfrac{A}{B}>0, então existe solução real e x = \pm\left(\frac{A}{B}\right)^{1/4}.(Esses são dois pontos reais simétricos: um positivo e um negativo; as outras duas raízes quarta são complexas.)
    • Se \dfrac{A}{B}<0, então não existem pontos de equilíbrio reais (porque x^{4} não pode ser negativo).
  • Caso A=0: o potencial é U(x)=B x^{2}. A derivada é dU/dx=2B x, portanto o único equilíbrio é x=0. Note que agora x=0 está no domínio porque não há singularidade.
  • Caso B=0: o potencial é U(x)=\dfrac{A}{x^{2}}. A força é F(x)=2A/x^{3}. Não há solução F(x)=0 para x finito; logo não há ponto de equilíbrio real.

Passo 4

Classificação da estabilidade (pequena aula sobre teste da segunda derivada): para pontos de equilíbrio x_{0} com dU/dx(x_{0})=0, usamos a segunda derivada U''(x_{0}):
  • se U''(x_{0})>0 então é mínimo local (equilíbrio estável);
  • se U''(x_{0})<0 então é máximo local (equilíbrio instável);
  • se U''(x_{0})=0 precisa de análise mais refinada.
Calculamos U''(x). Já tínhamos \dfrac{dU}{dx}=-\dfrac{2A}{x^{3}}+2B x. Derivando novamente:
\frac{d^{2}U}{dx^{2}} = 6\frac{A}{x^{4}} + 2B.
Agora avaliamos em um ponto de equilíbrio onde x^{4}=\dfrac{A}{B} (caso A\neq0, B\neq0, e \dfrac{A}{B}>0). Substituindo:
U''(x_{0}) = 6\frac{A}{x_{0}^{4}} + 2B = 6\frac{A}{A/B} + 2B = 6B + 2B = 8B.
Portanto, para os equilíbrios reais obtidos quando \dfrac{A}{B}>0:
  • se B>0 então U''(x_{0})=8B>0 → equilíbrios em x=\pm (A/B)^{1/4} são estáveis (mínimos locais);
  • se B<0 então U''(x_{0})=8B<0 → equilíbrios em x=\pm (A/B)^{1/4} são instáveis (máximos locais).
Para os casos limite:
  • quando A=0 e U(x)=B x^{2}, temos U''(0)=2B. Assim x=0 é estável se B>0 (poço harmônico), instável se B<0.
  • quando B=0 e U(x)=A/x^{2} não há equilíbrio finito.

Passo 5

Esboço do gráfico do potencial (como raciocinar na prova — “cole a forma” e use limites e simetria):
  1. Simetria: U(x) é função par, então o gráfico é simétrico em torno de x=0.
  2. Comportamento próximo a x=0:
    • Se A>0, o termo \dfrac{A}{x^{2}}\to +\infty quando x\to0, logo U(x)\to +\infty em x\to0.
    • Se A<0, então \dfrac{A}{x^{2}}\to -\infty quando x\to0, logo U(x)\to -\infty em x\to0.
  3. Comportamento para |x|\to\infty:
    • Se B>0, B x^{2}\to +\infty e domina, logo U(x)\to +\infty.
    • Se B<0, B x^{2}\to -\infty e domina, logo U(x)\to -\infty.
  4. Juntando tudo (casos típicos):
    • Caso A>0,\,B>0: U\to+\infty em x\to0 e em |x|\to\infty. Há dois mínimos simétricos em x=\pm (A/B)^{1/4}. O mínimo vale U_{\min}=2\sqrt{A B},que obtivemos substituindo x^{2}=(A/B)^{1/2} em U(x).
      O gráfico parece um “poço duplo” com barreira infinita em x=0 (singular) e subindo para infinito às duas extremidades.
    • Caso A>0,\,B<0: U\to+\infty em x\to0 e U\to -\infty em |x|\to\infty. Não há equilíbrios reais ( A/B<0). Gráfico decai para -\infty nas extremidades partindo de +\infty em 0.
    • Caso A<0,\,B>0: U\to -\infty em x\to0 e U\to +\infty em |x|\to\infty. Não há equilíbrios reais ( A/B<0). Gráfico sobe para +\infty nas extremidades vindo de -\infty em 0.
    • Caso A<0,\,B<0: U\to -\infty tanto em x\to0 quanto em |x|\to\infty. Se A/B>0 (aqui é verdade porque ambos são negativos), há equilíbrios em x=\pm (A/B)^{1/4} que serão instáveis (máximos), e o gráfico tem um máximo local nesses pontos e tende a -\infty nas bordas.
  5. Para a prova: desenhe o eixo x, marque simetricamente x=\pm (A/B)^{1/4} quando existirem, e use as setas de limite para x\to0 e |x|\to\infty de acordo com sinais de A e B.

Passo 6

O sistema é conservativo? (explicação didática)
  • Por construção, temos uma função U(x) tal que F(x)=-dU/dx. Isso significa que a força deriva de um potencial escalar independente do tempo. Em mecânica clássica isso implica conservação da energia mecânica (se não há forças dependentes do tempo ou dissipativas). Portanto sim: o sistema é conservativo — a energia total E=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^{2}+U(x) é conservada enquanto A e B são constantes e não há forças não-conservativas adicionais.

Passo 7

Resumo final das fórmulas e resultados principais (fácil de consultar na hora da prova):
  • Força: \boxed{F(x)=\frac{2A}{x^{3}}-2B x=2\!\left(\frac{A}{x^{3}}-B x\right).}
  • Pontos de equilíbrio (caso A\neq0,B\neq0): x^{4}=\frac{A}{B}\quad\Rightarrow\quad x=\pm\left(\frac{A}{B}\right)^{1/4}\\ \text{se}\\ \frac{A}{B}>0.Casos especiais: se A=0 então x=0 é equilíbrio; se B=0 não há equilíbrio finito.
  • Estabilidade: U''(x_{0})=8B\\ \text{(para os equilíbrios reais)},ílogo estabilidade depende só do sinal de B: B>0\Rightarrow estáveis (mínimos); B<0\Rightarrow instáveis (máximos).
  • Gráfico: função par; comportamento em x\to0 dominado por \dfrac{A}{x^{2}}; comportamento para |x|\to\infty dominado por B x^{2}. Desenhe de acordo com os sinais de A e B.
  • Conservação: sim, é um sistema conservativo porque F=-dU/dx.

Resposta

(a) \displaystyle F(x)=\frac{2A}{x^{3}}-2B x=2\!\left(\frac{A}{x^{3}}-B x\right).
(b) Pontos de equilíbrio: \displaystyle x^{4}=\frac{A}{B}, isto é \displaystyle x=\pm\left(\frac{A}{B}\right)^{1/4} se \dfrac{A}{B}>0. Caso especial: se A=0 então x=0 é equilíbrio; se B=0 não há equilíbrio finito.
(c) Esboço/forma: U(x) é par; para x\to0 domina \dfrac{A}{x^{2}} (vai para +\infty se A>0, para -\infty se A<0); para |x|\to\infty domina B x^{2} (vai para +\infty se B>0, para -\infty se B<0). Para A>0,B>0 há dois mínimos em \pm (A/B)^{1/4} com U_{\min}=2\sqrt{AB}; para A<0,B<0 há dois máximos em \pm (A/B)^{1/4}.
(d) Sim. O sistema é conservativo porque F(x)=-dU/dx com U independente do tempo, logo a energia mecânica é conservada.

Exercícios relacionados