Questão 2) (4) Uma partícula se move sob a ação de um potencial unidimensional dado por
. (a) Calcule a força gerada por esse potencial; (b) calcule os pontos fixos; (c) esboce o gráfico do potencial; (d) esse sistema é conservativo?
Passo 1
O enunciado dá o potencial unidimensional
e pede quatro coisas:
(a) a força gerada por esse potencial;
(b) os pontos fixos (pontos de equilíbrio);
(c) um esboço do gráfico do potencial (comportamento geral);
(d) se o sistema é conservativo.
(a) a força gerada por esse potencial;
(b) os pontos fixos (pontos de equilíbrio);
(c) um esboço do gráfico do potencial (comportamento geral);
(d) se o sistema é conservativo.
Informações relevantes dadas/assumidas:
-
e são constantes (podem ser positivas, negativas ou nulas). - O domínio natural da expressão quando
exclui por causa do termo . - A função é par:
(útil para o esboço).
A partir daqui vamos calcular tudo passo a passo.
Passo 2
Como se obtém a força a partir do potencial (pequena aula): em uma dimensão, a força associada a um potencial
é dada por
Isto vem da definição de trabalho e da energia potencial: a força é o negativo do gradiente do potencial. Aqui vamos derivar
termo a termo. Primeiro lembrando regra de potência: se
então
. Para potências negativas a regra é a mesma.
Derivando
:
Aplicando
obtemos
Podemos também escrever fatorando
:
Passo 3
Agora vamos achar os pontos de equilíbrio (pontos fixos). Por definição, em mecânica clássica um ponto de equilíbrio é onde a força é nula, isto é
. Usamos a expressão obtida:
Dividindo por
e rearranjando:
Multiplicando ambos os lados por
(lembrando que isto exige
):
Logo os candidatos a equilíbrios satisfazem
Isso nos dá os seguintes casos a considerar (muito importante listar os casos para a prova):
- Caso geral com
e : - Se
, então existe solução real e (Esses são dois pontos reais simétricos: um positivo e um negativo; as outras duas raízes quarta são complexas.) - Se
, então não existem pontos de equilíbrio reais (porque não pode ser negativo).
- Se
- Caso
: o potencial é . A derivada é , portanto o único equilíbrio é . Note que agora está no domínio porque não há singularidade. - Caso
: o potencial é . A força é . Não há solução para finito; logo não há ponto de equilíbrio real.
Passo 4
Classificação da estabilidade (pequena aula sobre teste da segunda derivada): para pontos de equilíbrio
com
, usamos a segunda derivada
:
- se
então é mínimo local (equilíbrio estável); - se
então é máximo local (equilíbrio instável); - se
precisa de análise mais refinada.
Calculamos
. Já tínhamos
. Derivando novamente:
Agora avaliamos em um ponto de equilíbrio onde
(caso
,
, e
). Substituindo:
Portanto, para os equilíbrios reais obtidos quando
:
- se
então → equilíbrios em são estáveis (mínimos locais); - se
então → equilíbrios em são instáveis (máximos locais).
Para os casos limite:
- quando
e , temos . Assim é estável se (poço harmônico), instável se . - quando
e não há equilíbrio finito.
Passo 5
Esboço do gráfico do potencial (como raciocinar na prova — “cole a forma” e use limites e simetria):
- Simetria:
é função par, então o gráfico é simétrico em torno de . - Comportamento próximo a
: - Se
, o termo quando , logo em . - Se
, então quando , logo em .
- Se
- Comportamento para
: - Se
, e domina, logo . - Se
, e domina, logo .
- Se
- Juntando tudo (casos típicos):
- Caso
: em e em . Há dois mínimos simétricos em . O mínimo vale que obtivemos substituindo em .
O gráfico parece um “poço duplo” com barreira infinita em(singular) e subindo para infinito às duas extremidades. - Caso
: em e em . Não há equilíbrios reais ( ). Gráfico decai para nas extremidades partindo de em . - Caso
: em e em . Não há equilíbrios reais ( ). Gráfico sobe para nas extremidades vindo de em . - Caso
: tanto em quanto em . Se (aqui é verdade porque ambos são negativos), há equilíbrios em que serão instáveis (máximos), e o gráfico tem um máximo local nesses pontos e tende a nas bordas.
- Caso
- Para a prova: desenhe o eixo
, marque simetricamente quando existirem, e use as setas de limite para e de acordo com sinais de e .
Passo 6
O sistema é conservativo? (explicação didática)
- Por construção, temos uma função
tal que . Isso significa que a força deriva de um potencial escalar independente do tempo. Em mecânica clássica isso implica conservação da energia mecânica (se não há forças dependentes do tempo ou dissipativas). Portanto sim: o sistema é conservativo — a energia total é conservada enquanto e são constantes e não há forças não-conservativas adicionais.
Passo 7
Resumo final das fórmulas e resultados principais (fácil de consultar na hora da prova):
- Força:
- Pontos de equilíbrio (caso
): Casos especiais: se então é equilíbrio; se não há equilíbrio finito. - Estabilidade:
logo estabilidade depende só do sinal de : estáveis (mínimos); instáveis (máximos). - Gráfico: função par; comportamento em
dominado por ; comportamento para dominado por . Desenhe de acordo com os sinais de e . - Conservação: sim, é um sistema conservativo porque
.
Resposta
(a)
(b) Pontos de equilíbrio: , isto é
se
. Caso especial: se
então
é equilíbrio; se
não há equilíbrio finito.
(c) Esboço/forma: é par; para
domina
(vai para
se
, para
se
); para
domina
(vai para
se
, para
se
). Para
há dois mínimos em
com
; para
há dois máximos em
.
(d) Sim. O sistema é conservativo porque com
independente do tempo, logo a energia mecânica é conservada.
(b) Pontos de equilíbrio:
(c) Esboço/forma:
(d) Sim. O sistema é conservativo porque